Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 2 Издание 12
 
djvu / html
 

120 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
и пусть это уравнение имеет корни г„ г2, . . . , гт кратности hlt
(122)
Разлагая полином ср (D) на множители, можем представить уравнение (120) в виде:
(123) (D — r,)fe' (D — rtf* . . . (D — rm)*** = 0. • Уравнение
(124) (D — rm)kmx = Q, согласно формуле (118) [38], имеет общее решение
(125) л; =/•»'/>*„, -i(9,
где Pftm_i(9 — полином степени (km — 1) с произвольными коэффи-
циентами.
Функция (125) будет, очевидно, решением и уравнения (123). Действительно, подставляя в это уравнение выражение (125), в результате операции (D — rm)km получим нуль, и операция
(D — г,)*1 (D — ra)fe> . . . (D — гт -О*»-1 ,
произведенная над нулем, даст очевидно также нуль. Переставляя множители, мы могли бы поставить ближайшим к л; не множитель
(D — rm)fem, а какой-либо другой множитель (D — Г4)**. Таким образом мы убеждаемся в существовании ряда частных решений;
(126) х. = e'Jpt-i (t) (s = 1 , 2, . . . , я),
где Pk _i (9 — полином степени (ks — 1) с произвольными коэффициентами.
Придавая в формуле (126) s все значения от 1 до т и складывая все полученные таким образом решения, будем иметь решение уравнения (123) [26]:
(127) *=е"'/>Л1-1 (9 + /•'/>*,_, (9 + . . . +/»'/>»„_! (9-
Всякий полином Pks,i (t) степени (ks — 1) с произвольными коэффициентами содержит всего ks произвольных постоянных, и, следовательно, в силу соотношения (122), решение (127) содержит всего п произвольных постоянных. Ввиду этого обстоятельства можно думать, что формула (127) дает общее решение уравнения (119), т. е. что всякое решение этого уравнения заключается в формуле (127).
При /и= 1 это было нами доказано выше формулой (118) из [38] и таким образом остается показать, что если наше утверждение справедливо для случая (т — 1) сомножителей вила (D — r^s t to

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика