Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Рожков В.И. Сборник задач математических олимпиад
 
djvu / html
 

43. Нарисовать на плоскости множество тбчек (х, у) таких,
44. Доказать, что если х+1/х = 2 cos а, то хп-\-х "=2 cos n а.
45. Доказать, что
л 2я 7л 1
COS1T C°S ~l5-"---COS
46. Найти сумму
COS-----------------hCOS-----------------h .
2 и + l 2n+l
47. Сколько решений имеет система из 1982 уравнений
cos.Ki=.*2,
COSXi981=*1982,
ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
48; Требуется на один рубль купить 40 почтовых марок: 1-копеечных, 4-копеечных и 12-копеечных. Сколько окажется марок каждого достоинства?
49. Пусть F(x) —x2+px+q. Доказать, что если |F(0)|>1 и-F(l)f( — 1)>0, то на отрезке [ — 1, 1] F(x) не имеет корней.
50. Если кирпичи класть друг на друга, сдвигая каждый в одном и том же направлении относительно предыдущего, но так, чтобы они не падали, получится изогнутый «козыр.ек-стена». Какова его максимальная глубина?
51. Найти f(x), если это — действительная функция действительного переменного х, не равная тождественно нулю, причем f(x)f(y)=f(x — у) для всех возможных х и у.
52. Пусть х+е* = у-+ еу. Верно ли, что тогда sinjc = sin«/?
53. Доказать, что уравнение у(у(х)) = \, где y:R->R, не имеет строго монотонного решения.
54. Существует ли такая непрерывная на всей вещественной прямой функция f(x), что f(f(x)) —e~x для всех х?
55. Функция f(x) определена иа вещественной оси. Известно, что для любого х и любого Л>0 |f (x + h) — f(x — h) \ 56. Из чисел 1, 2, 3,... , 99, 100 взяли произвольно 51 число. Доказать, что среди выбранных всегда найдутся два числа, одно из которых делится на другое.
57. Функция f(x) определена для всех вещественных значений аргумента и принимает вещественные значения, причем
где а>0. Доказать, что функция f(x) периодична. Привести пример такой функции, отличной от тождественной постоянной,, при а=1.
7

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20


Математика