Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Рожков В.И. Сборник задач математических олимпиад
 
djvu / html
 

29. Решить систему т 2
ГЕОМЕТРИЯ
30. Доказать, что если стороны прямоугольного треугольника составляют арифметическую прогрессию, то ее разность равна радиусу вписанной окружности.
31. Определить стороны треугольника, а также радиусы вписанной и описанной окружностей, если длины высоты, биссектрисы и медианы, исходящих из одной вершины треугольника, соответственно равны h, 6, т, причем ft^=6. Исследовать случай /i=6 = m.
32. Пусть длины сторон треугольника равны а, Ь, с. Определить его вид (тупоугольный, прямоугольный, остроугольный), если с"= -а* +Ь* при а'=3; при а — 3/2; при а=1/2. Провести исследование зависимости от a^sO.
33. Пусть г и R — радиусы вписанной и описанной вокруг треугольника окружностей, а d — расстояние между их центрами. Доказать, что d2 = R2— 2 Rr.
34. Найти количество диагоналей в выпуклом п-угольникс.
35. Пусть /in — апофема правильного n-угольника, вписанного в круг радиуса R. Доказать, что (n+l)/zn+i — nhn>R.
36. Каждая сторона выпуклого четырехугольника меньше 20. Доказать, что для любой точки О внутри четырехугольника найдется вершина А такая, что | О А \ < 1 5.
37. Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник, у которого длины сторон и диагоналей не превосходят 1. Доказать, что его
периметр не превосходит 2 +4 sin — — .
38. Чему равна наибольшая площадь проекции единичного куба на плоскость?
ТРИГОНОМЕТРИЯ
39. Решить уравнение (igx + ctgx) (2 + siny)=2.
40. При каких а уравнение l+sin2ax=4cosx имеет единственное решение?
41. Решить уравнение cos7* — sin7x= 1.
42. Доказать, что arcigx>x — jc3/3 при Jt>0.

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20


Математика