Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Делоне Б.N. Задачник по геометрии Изд4
 
djvu / html
 

РЕШЕНИЯ
86—87
86. В треугольнике ЛВС (рис. 63) проведем высоту АН и отметим на ней ортоцентр D, затем проведем перпендикуляр в середине М стороны ВС и отметим на нем центр описанного круга О, наконец, проведем медиану и отметим точку пересечения ее Q с прямой OD. Нужно доказать, что Q есть центр тяжести. Отрезок МО параллелен отрезку AD и по теореме
85 равен его половине. Следовательно, отрезок МО ргвен и параллелен средней линии A'D' треугольника ADQ. Поэтому отрезки OD', МА' взаимно делятся пополам, и мы получаем:
MQ = QA'
~QA = -MA.
2 ^ 3
С Это показывает, что точка Q есть действительно центр тяжести, и мы видим, что Рис. 63. центр описанного круга О ортоцентр D
и центр тяжести Q лежат на одной прямой, как и требовалось доказать. Заметим, что нами рассмотрен только общий случай, когда медиана не совпадает с высотой. Но если медиана совпадает с высотой, то теорема становится очевидной, так как в этом случае все три точки лежат на высоте.
87. Из точки М на окружности круга, описанного около треугольника ABC, опущены перпендикуляры MPt MQ, MR на стороне (рис. 64). Требуется доказать, что точки Р, Q, R лежат на одной прямой. Мы ограничимся рассмотрением случая, когда одна из точек Р, Q, R лежит на самой стороне треугольника.
Пусть, например, точка Р лежит на стороне ВС. Из двух противоположных углов ABM, ACM вписанного четырехугольника А ВМС или один острый, а другой тупой, или оба прямые. Если они оба прямые, то R совпадает с В и Q совпадает с С. Следовательно, точки Р, Q, R лежат на прямой ВС, и теорема доказана. Предположим, напротив, что один из этих углов, например угол АСМ, острый, и следовательно, другой угол АВМ тупой. Тогда Q лежит на самой стороне ACt a R лежит на продолжении стороны АВ за конец В. Из сказанного следует, что отрезки РВ, PC составляют продолжение друг друга, а отрезки PQ, PR во всяком случае расположены по разные стороны от прямой ВС. Нужно доказать, что и отрезки
Рис. 64.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300


Математика