Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Делоне Б.N. Задачник по геометрии Изд4
 
djvu / html
 

190 РЕШЕНИЯ 274
совпадает с Р, т. е. когда точка М лежит на перпендикуляре к ОгО% в Р. Таким образом, искомое геометрическое место (радикальная ось) есть перпендикуляр к линии центров ОгО2 в точке Р, найденной выше.
Нам остается исследовать положение радикальной оси в зависимости от относительного положения кругов f(v Kz. Если К* лежит вне круга К± или касается его внешне, то
и тем более dz — г? -\- г22 ^> 0. Отсюда следует, что из двух предполагавшихся выше положений точки Р имеет место первое, т. е. на отрезке О1О2. Далее, мы уже видели, что при ri ^> тъ всегда d1 ^> с?2, т. е. точка Р ближе к центру меньшего круга. При г± = /-2 точка Р, очевидно, делит отрезок О1О2 пополам при любом относительном положении кругов Klt К2. Если круг К2 лежит внутри круга Кг или касается его внутренним образом, то
» г/ > d* + г* + 2dr2,
и тем более г± — г22 — d2 ^> 0. Следовательно, для точки Р имеем второе положение, т. е. вне отрезка ОгО2. Из d^^>dz следует, что точка Р лежит на продолжении О1О2 за точку О2, т. е. со стороны центра меньшего круга. Остается рассмотреть случай, когда круги Кг, К2 пересекаются. В этом случае точки Olt O2 н одна из точек пересечения образуют треугольник со сторонами d, гг, г2. Из двух углов при стороне O^OZ — d большим будет угол при О2, так как он лежит против большей стороны. В зависимости от того, будет ли этот угол острым, прямым или тупым, ^мы будем иметь ^2-{-г22> г/, = гх2 или <^ г!2, т. е. d* — r? -f- r22 "> 0, =0, или <^ 0, что соответствует положению точки Р внутри отрезка О1О2, в точке О2 или вне отрезка ОгО2.
Предыдущий результат становится, впрочем, очевидным, если заметим, что радикальная ось всегда проходит через общие точки кругов Kit KZ- Последнее следует из того, что эти точки имеют степень нуль относительно обоих кругов. Ясно, что радикальная ось двух пересекающихся кругов есть прямая, соединяющая точки пересечения, а радикальная ось двух касательных кругов есть касательная к ним в их точке касания.
Мы все время предполагали, что центры ОгО2 кругов Кц К% различны. Если круги Kv Д"2 имеют общий центр, то точек, имеющих одинаковую степень относительно этих кругов, не
nntedwithFmePrmt-purc

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300


Математика