Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Вейль Г.N. Философии математики Сборник работ
 
djvu / html
 

От комплексных чисел можно затем перейти к гиперкомплексным числам с 3-мя и более компонентами. Однако можно доказать, что, как бы ни были в их области определены действия сложения и умножения, все же невозможно сохранить в силе все законы арифметики. Поэтому комплексные числа служат как бы естественным пределом для расширения понятия числа. Однако системы гиперкомплексных чисел имеют в математике большое значение; таковы, например, состоящие' из четырех компонентов кватернионы, не удовлетворяющие лишь одному закону арифметики, именно — переместительному закону умножения, и являющиеся очень удобным вспомогательным средством для исследования вращения в пространстве твердого тела.
Вместо генетического построения области чисел можно также обосновать арифметику на некоторой системе аксиомг Генезисом чисел при этом приходится воспользоваться только для сведения непротиворечивости этой системы к непротиворечивости аксиом натуральных чисел. Арифметические аксиомы распадаются на две группы: на алгебраические аксиомы и на аксиомы величины. Алгебраическая группа трактует о действиях сложения и умножения. Она заключает в себе формальные законы арифметики (вроде а -\- Ъ = Ъ -\- а) и постулирует существование 0 и 1, обладающих следующими свойствами:
а-}-0 = 0-[-Д = а, 1 • а = а • 1 = а,
а также обратимость действий сложения и умножения (за исключением деления на 0). Аксиомы величины (теряющие свою силу в области .комплексных чисел) имеют дело с отношением а^>Ь (а больше Ь) (ср. таблицу в „Основаниях геометрии* Гильберта).
ЛИТЕРАТУРА:
Hankel, Theorie der komplexen Zahlen, Lpz. 1867. ' H i I b e r t, Grundlagen der Geometric. Holder, Die Arithmetik in strenger Begrundung, Lpz. 1914.
6, НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
„Целое число создал господь бог, все остальное дело трудов человеческих" — так гласит часто цитируемое выражение Кронекера. В области
(здесь таится что-то для нас непонятное; см. Leibniz,Math. Schriften, изд. Ger-hardt, II, стр. 15). Даже Коши в 1821 г. обладал еще весьма неясными представлениями о действиях над комплексными величинами. Впрочем, отрицательные числа представляли в свое время также немалую головоломку. К л а в и и (1612г.), например о правиле .минус на минус дает плюс' писал: „debiHtas humani ingenii accusanda (videtur), quod capere non potest, quo pacto id verum esse possit" (здесь проявляется слабость человеческого разума, который не в состоянии по-стигн' ть, почему оно может быть верным). Еще Д&карт, в соответствии с обычаем того времени, называет отрицательные корни алг^раического уравнения ложными. Встречающееся иногда и в наши дни определение / как такого числа, которое при умножении на самого себя дает—I, в качестве определения представляет собою чистейшую бессмыслицу, поскольку мы имеем дело только с вещественными числами. Доля истины, содержащаяся в этом определении, состоит лишь в требовании так расширить понятие числа и так распространить умножение на расширениую область, чтобы указанное равенство было возможно.
60

 

1 10 20 30 40 50 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 80 90 100 110 120


Математика