Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Вейль Г.N. Философии математики Сборник работ
 
djvu / html
 

Пашем. В конце XIX в. цель была достигнута окончательно, и созданная система аксиом получила классическое выражение в „Основаниях геометрии" Гильберта. Гильберт разбивает аксиомы на пять групп: аксиомы связи („лежит на"), расположения („между"), конгруентности, параллельности и непрерывности.
Аксиоматический метод древних, которым кроме Эвклида владел с удивительным мастерством также Архимед, послужил образцом для основателей современной механики. Он служит руководящим началом в учении Галилея о равномерном и равномерно ускоренном движении (Discorsi е dimostrazioni, 3-й и 4-й день) и еще более отчетливо проступает в гюйгенсовом изложении законов маятника в Horologium oscillatorium. В новейшее время среди нематематических наук полностью осуществлена была программа аксиоматизации в статике твердых тел, в учении о пространстве и времени специальной теории относительности и в некоторых других отраслях физики.
Система аксиом отнюдь не определяется однозначным образом той областью вещей, к которой она применяется; в выборе основных понятий и условий всегда сохраняется известный произвол. Вопрос о том, может ли быть здесь противопоставлено нечто по самому существу своему изначальное чему-то по существу производному, лежит вне компетенции математика1). Выбранное первоначально определение понятия о каком-нибудь геометрическом отношении может быть с полным правом заменено любым другим критерием, являющимся, в силу свойств геометрии, необходимым и достаточным для наличия этого отношения.
Система аксиом должна при всех обстоятельствах быть непротиворечивой, т. е. должна существовать уверенность в том, что путем логических умозаключений из аксиом никогда не могут быть получены, с одной стороны, высказывание а, а с другой (посредством иного доказательства) противоположное высказывание а. Разумеется, если аксиомы истинным образом отображают какую-нибудь область вещей, то не может быть сомнения в их непротиворечивости. Но далеко не всегда дело разрешается так просто, как мы бы этого хотели; научная теория не может быть точным отображением данного, так, как оно нам дано,—она почти всегда представляет собою смелое построение. Поэтому испытание непротиворечивости — важный критерий; и средства для его применения находятся в руках у математиков.
Желательной, хотя и не необходимой, является также независимость отдельных аксиом какой-либо системы. В системе аксиом не должно заключаться лишних составных частей, в ней не должно быть предложений, доказуемых на основании других аксиом. Вопрос о независимости аксиом теснейшим образом связан с вопросом о непротиворечивости их, ибо то обстоятельство, что предложение а не зависит от некоторых определенных аксиом, сводится к тому, что предложение а им не противоречит.
*) Иногда так и бывает. Например, среди отношений родства отношение детей к своим родителям и брак являются изначальными по самому своему существу.
50

 

1 10 20 30 40 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 70 80 90 100 110 120


Математика