Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Вейль Г.N. Философии математики Сборник работ
 
djvu / html
 

элементов и недоступные (включая бесконечно удаленные) точки и таким путем расширить ограниченную часть пространства до полного пространства проективной геометрии. Для этого надо при помощи „геометрических построений в /? установить, когда несколько действительных, т. е. пересекающих /? прямых, исходят из одной идеальной точки. Проще всего определить эту точку как вершину некоторого (образуемого действительными прямыми) трехстороннгго угла. Таким путем получается следующее определение: „три не лежащих в одной плоскости прямых а, Ь, с, каждая пара которых лежит в одной плоскости, определяют некоторую .идеальную точку" [а, Ь, с]. Утверждение, что прямая g проходит через эту точку, означает, что д лежит в одной плоскости с а, а также с Ь и ее". Отсюда затем можно вывести, когда следу г считать две таких идеальных точки тождественными. Каждой действительной точке .р соответствует одна и только одна идеальная точка тг, обладающая тем свойством, что всякая проходящая через р прямая проходит в смысле нашего определения через •к. Таким образом можно отождествить часть идеальных точек с действительными (ср. Pasch, Vorlesungen uber neuere Geometric, 1882, стр. 40). Подобным же путем в математике постоянно производится расширение первоначально заданной области операций при помощи присоединения идеальных элементов, причем делается это для того, чтобы сообщить всеобщую применимость некоторым простым законам. Так, например, введение бесконечно удаленных точек .имеет своим последствием, что не только всегда оказывается возможным соединить две различные точки одной прямой, но и что две различные прямые, лежащие в одной плоскости, всегда пересекаются в одной точке. Введение в геометрию мнимых величин для установления некоторых всеобщих теорем о точках пересечения алгебраических поверхностей и кривых, введение Куммером в теорию чисел идеальных чисел для восстановления первоначально утрачиваемых при переходе от рациональных чисел к алгебраическим законов разложения на множители, — представляют собой наиболее блестящие примеры плодотворности метода идеальных элементов.
Частным случаем этого метода является определение путем абстракции. Двучленное отношение а^Ь в какой-либо области объектов называется отношением эквивалентности (отношением, имеющим характер равенства), если имеют место следующие условия:
2) если а^Ь, то и Ь~а (переместительное свойство);,
3) если а<^->Ь и Ь~с, то и а<~^с (свойство транзитивности).
Если условиться в том, что два объекта а и Ь отличны тогда и только тогда, когда они не удовлетворяют отношению эквивалентности а<^>Ь, то из первоначальной области объектов возникает „путем абстракции" новая область объектов.
Примеры и пояснения. 1 . Подобие геометрических фигур является отношением эквивалентности. Каждой фигуре приписывают опре* .деленную „форму" и принимают, что две фигуры имеют одну и ту же форму тогда и только тогда, когда они подобны. Выражаясь более философским образом, можно сказать: понятие формы возникает из понятия
«О

 

1 10 20 30 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 60 70 80 90 100 110 120


Математика