Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Вейль Г.N. Философии математики Сборник работ
 
djvu / html
 

Для введения трансфинитных способов умозаключения мы нуждаемся в новом виде символов. Когда мы из какого-нибудь свойства схемы высказывания а (х) с одной переменной или пустым местом х (вроде: человек х подкупен) образуем высказывание: в с е х удовлетворяют высказыванию а (х) (все люди подкупны), то мы фактически выполняем некоторое логическое действие, исключающее переменную х из формулы высказывания (дг после этого более заменить ничем нельзя). Подобное действие может быть названо интегрированием по х. В формализованной математике этому действию будет соответствовать некоторый символ с индексом х. При этом трудность, связанная со свободным применением в содержательном анализе выражений „существует" и „все", формально преодолевается следующим образом. В качестве исходного пункта мы примем сначала старую, оспариваемую Бро-уером дилемму, согласно которой либо все лю"ди подкупны либо существует по крайней мере один неподкупный человек; далее, если все люди подкупны, то мы условимся понимать под словом „Аристид" любого человека, в случае же обратном какого-либо из неподкупных людей. Как известно, согласно Броуеру, мы имеем право сделать вывод, что такой Аристид существует, только если мы сумеем сконструировать его, исходя из свойства подкупности. Вообразим же -себе для этого некий божественный автомат, так устроенный, что если мы бросим в него формулу высказывания а (х) с одной переменной х, то он укажет нам на такого 'индивидуума т^а, который (по отношению к свойству х) может репрезентировать собою всех людей, причем репрезентировать он может их в силу того, что имеет силу следующее предложение, если этот индивидуум т^а обладает свойством а, то свойство а присуще всем людям. Символ т^. при этом выражает собой интегрирование по х. Если бы мы имели в своем распоряжении подобный автомат, то он избавил бы нас от всех забот, но само собою разумеется, вера в его существование является чистейшей бессмыслицей. Математика, однако, поступает так, как если бы наш автомат существовал. Это можно выразить при помощи определенной схемы аксиом и если такая схема не влечет за собой противоречия, то ее употребление в формализованной математике оказывается вполне законным. Схема эта имеет такой вид: '

V*
т. е. гласит: возьми две формулы а, Ъ и слева от символа—>• выпиши ту формулу, которая возникает из д, когда ты заменишь переменную х во всех тех случаях, когда она встречается, формулой тла; справа же выпиши формулу, возникающую из а, когда ты точно так же заменишь х через формулу Ь\ полученная таким образом формула и будет аксиомой. Разумеется, эта схема не может оказать нам той услуги, что автомат, и когда задана формула а, она не говорит нам, что собою представляет ъха; только при некоторых условиях базирующееся на наших аксиомах доказательство в конечном итоге приводит к таким формулам, как, например, т^д = 0. Гильберту удалось доказать отсутствие противоречия в конечной формуле доказательств, включив в систему аксиом также и трансфинит-
30

 

1 10 20 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 50 60 70 80 90 100 110 120


Математика