Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Вейль Г.N. Философии математики Сборник работ
 
djvu / html
 

определение D: выражение, что х обладает свойством Еа, обозначает, что существует некоторое А-свойство рода §1, присущее числу х. Но это свойство Еа по самому своему существу, очевидно, находится
вне круга ft-свойств, оно принадлежит к более высокому, так сказать, типу свойств, чем /г-своПства. Когда мы имеем дело с определенной категорией предметов — как в данном случае с категорией натура ;ьных чисел,— то исходить следует из некоторых непосредственно вместе с ней заданных, присущих "предметам этой категории свойств и отношений. Для натуральных чисел подобным основным отношением является то единственное отношение, которое существует между любым числом и непосредственно за ним следующим. Из этих свойств можно путем логических построений получать новые свойства и отношения, причем, однако, выражения „все" и „существует" могут быть применяемы исключительно к предметам основной категории. (Например, если уже образовано между двумя произвольными числами т, п отношение п=(2т, то можно следующим образом определить свойство быть „четным": п — четное число, если существует такое число т, что и = 2т.) Эти свойства образуют низший тип свойств. Свойства второго типа получаются, например, по схеме D — в результате применения выражений „же" и „существует" к объемноопределенному кругу свойств первого типа; пользуясь теми же ьыражениями, но уже в применении к свойствам второго типа, можно образовать новые свойства, принадлежащие уже к появляющемуся при этом третьему типу, и т. д. Необходимость подобной иерархии типов была впервые отчетливо осо:.нана Рессслем. Отказавшись от нее и без ограничений применяя выражения „все" и „существует" ко вам свойствам, мы неизбежно очутились бы в безвыходном порочном круге.
Но вместе с тем, последствия тсоретико-мьожествешшч антиномии проникают уже в самую сершевину анализа. Действительно, построение верхней границу множества 21 вещественных чисел производило^ как раз по схеме D, не принимая во внимание наличия рссселевой иерархии типов. Стоит только вспомнить, что, согласно Дедекинду, вещественное число (Е) есть множество рациональных члсел, соответствующее со своей стороны некоторому свойству Е в области рациональных чисел; выражение: „рациональное число х меньше (Е)" обозначает то же самое, что и выражение: „х обладает -свойством Е". Значит, верхняя граница у соответствует в действительности такому свойству Е%, которым рациональное число л: может облагать тогда и только тогда, когда вообще существует свойство рациональных чисел рода 31, присущее х. В результате единог понятие числа распадается, и мы получаем вещественные числа 1-го, 2-го, 3-го,... тгпов, так что, например, верхняя граница множеств чисел нерв то типа в общем случае сама не является числом того же рота, а принадлежит ко второму типу. Подобный ступенчатый анализ совершенно непригоден. Прав та, этой дилеммы было бы возможно избежать, если бы справечлива была теорема, утверждающая, что всякое свойство ?3 второго типа совпадает если не по содержанию, то по объе.му с каким-лпб> свойством Е{ первого типа. Никогда, однако, не бы то сделано попыток доказать такую теорему, и не существует ни малейщах ук<шний ия го, чт* возможно установить настолько мощные 20

 

1 10 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120


Математика