Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Вейль Г.N. Философии математики Сборник работ
 
djvu / html
 

неисчислим, а также следующее положение: не существует дефинитного построяемого с помощью наших конструктивных принципов отношения /?(*, л) между каким-нибудь произвольным рациональным числом х и каким-нибудь произвольным натуральным числом п такого рода, что каждому дефинитному свойству рациональных чисел h (л;), определяющему некоторое вещественное число (обладающее свойством сечения), соответствует некоторое натуральное число /г, для которого свойства /?(•, я) и ?(•) равнообъемны. Этого предложения вполне достаточно, чтобы вывести из него вслед за Кантором все важные для математики следствия, например существование трансцендентных чисел. Но если понимать ис-числимость в этом смысле, то не имеется, само собой разумеется, ни малейшего основания полагать, что во всяком бесконечном множестве должно содержаться исчислимое подмножество; отсутствие пробелов в ряду але-фов не обеспечено уже при переходе от конечных кардинальных чисел к алеф-нулю.
Наконец, сделаем еще одно замечание об обосновании геометрии. Так как точки — поскольку понятие вещественного числа сохраняется в его объемнонеопределенной всеобщности — не образуют определенной в себе и ограниченной совокупности, то бессмысленно строить на основе такой категории предметов систему геометрии так, как мы здесь в общих чертах пытались построить анализ на основе понятия натурального числа. Наоборот, чтобы получить объемноопределечную систему точек мы вынуждены обратиться к логически-арифметической конструкции. Поэтому нельзя в геометрию ввести непрерывность при помощи какой-нибудь „аксиомы дедекиндова сечения" или чего-либо подобного, геометрия непрерывности не может быть создана как самостоятельная аксиоматическая наука. Здесь нужно итти аналитическим путем: нужно перевести уже готовый анализ на язык геометрии с помощью переводного словаря, каким является понятие координат.
В. КОНТИНУУМ КАК СРЕДА СВОБОДНОГО СТАНОВЛЕНИЯ
1. ОСНОВНЫЕ ИДЕИ
Мы снова вернемся к основоначалам, но на этот раз будем исходить из несколько иного представления о вещественном числе, лучше выражающего его сущность. Если некоторое вещественное число а известно до А-того десятичного знака с ошибкой, меньшей чем it 1 А-того знака, то тем самым число а оказывается расположенным внутри интервала,
т — 1 т 4- 1
простирающегося от числа -h до "числа — Гл/г~ » где т есть опРе"
деленное целое число. Если мы заменим ради математической простоты десятичные дроби дробями двоичными, то в основу определения веще» ствешшх чисел мы положим „двоичные интервалы" вида

т — 1 т -j- I
в которых т и А суть добые целые числа. В частности, написанный здесь интервал есть интервал .А-той ступени". Двоичные интервалы А-тей
100

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 120


Математика