Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Адлер А.N. Теория геометрических построений Изд3
 
djvu / html
 

Применяя теперь постулаты 111—V, мы можем и должны считать построенными все отличные от точек Рг точки встречи построенных уже окружностей и прямых. Эти точки Я2 мы будем называть!очками второго класса. В силу постулатов I и II мы можем, по аналогии с предыдущим, считать построенными прямые /2, отрезки Х2 и окружности О2 второго класса, затем точки Р3 третьего класса и т. д.
Совокупность точек классов Р2, Ps... содержит в себе все те и только те точки, которые могут и должны считаться построенными в силу постулатов I—V, когда точки Pt образуют данную, исходную систему точек. Если искомые точки Q найдутся среди точек Pv Я2, Р3,..., то задача при наших постулатах разрешима. Если же искомых точек Q не будет среди точек Pt, Р2, Р„,..., как бы далеко мы этот ряд ни продолжали, то задача не будет иметь решения. Поясним это еще так.
Если точки систем Р15 Р2,... не покрывают всей плоскости, так что на плоскости имеется одна или несколько точек д, которые не будут принадлежать ни к одному из классов Plt Р2,..., то всякая задача, в которой даны только точки Р„ а ищется хоть одна из точек д, будет неразрешимой при наших постулатах, хотя она и могла бы быть разрешимой при других постулатах. Так, например (если требования, которым должны удовлетворять точки q в нашей задаче, не противоречат друг другу), можно было бы принять за постулат, что точки q построены, когда точки Р^ даны; в этом случае задача, в которой точки q суть искомые, разрешима в силу установленного постулата.
В книге Адлера приводится много примеров задач, неразрешимых при одних, но разрешимых при других постулатах (см., например, § 35, 45, 46, 49 и 51).
В предыдущем изложении указан путь, следуя которому мы, приняв обычные постулаты, непременно найдем решение задачи, если только решение может быть получено при этих постулатах.
Рассмотрим, например, задачу о делении пополам прямолинейного отрезка АВ, заданного его концами. Система Р1 точек первого класса состоит из двух точек А и В. Искомый образ есть точка С, делящая пополам отрезок АВ. Отрезок АВ, прямая АВ, окружность А (АВ) центра А и радиуса АВ и окружность В (АВ) образуют систему отрезков, прямых и окружностей первого класса. Если М, N суть точки пересечения окружностей А(АВ) и В(АВ), Р и Q — вторые точки пересечения этих окружностей с прямою АВ, то точки М, N, P, Q образуют систему точек второго класса. Среди 9 прямых и 28 окружностей второго класса имеется прямая MN, которая в пересечении с прямой АВ дает искомую точку С. Поэтому искомая точка есть точка третьего класса.
Рассмотрим еще деление пополам дуги АВ (окружности), заданной центром О и концами А к В. Точки О, А, В образуют систему точек первого класса. Три отрезка ОА, ОВ, АВ, три прямые ОА, ОВ, АВ и девять окружностей N(PQ) (где центр TV есть одна из точек А, В, О, а радиус PQ есть один из отрезков ОА, ОВ, АВ) образуют систему отрезков, прямых и окружностей первого класса. Точки встречи этих образов друг с другом (исключая О, А, В) образуют систему точек второго класса. Среди них имеется отличная от О точка встречи С окружностей А (АВ) и В(АВ). Прямая ОС принадлежит второму классу

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230


Математика