Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Адлер А.N. Теория геометрических построений Изд3
 
djvu / html
 

49 Диаметры пересекают концентрические окружности под прямым углом-См. конец пункта 3, d.
50 Окружность К отвечает сама себе; окружность Д"/, обратная К\, пересекает К в тех же двух точках, что и К\. Кроме того, так как К\ пересекает К под прямым углом, то и обратные им кривые К\ и К также пересекаются ортогонально (см. предложение в конце 3, d). Следовательно, окружности К\ н К\ совпадают.
61 С формальной точки зрения вещественная окружность К\ и мнимая окружность инверсии К пересекают друг друга под прямым углом. В самом деле, пусть О будет центр окружности К\. Положим ОР=/и обозначим через г радиус окружности К\- Если примем О за начало прямоугольной системы координат и ОР за положительное направление оси х-ов, то окружности К\, К и окружность, построенная на ОР как на диаметре, будут соответственно иметь уравнения:
2—/-2 = 0; (х — /Р
Третья окружность проходит через мнимые точки пересечения первых двух окружностей, как это вытекает из тождества:
Угол OiP, которого мнимая вершина находится на окружности, имеющей ОР диаметром, будет прямым. Вместе с тем OiP есть один из углов пересечения окружностей К\ и К.
ю Обратными фигурами являются две параллельные прямые.
63 Об осях подобия см. § 7.
64 В двух действительных или мнимых точках, в чем легко убедиться, написав уравнения какой-либо окружности К н двух в отношении ее взаимно обратных окружностей.
66 Инверсия относительно центра 0\ замещает точку X точкой Y, затем инверсия относительно центра О2 приводит ее в точку Z, дальнейшие инверсии совмещают ее последовательно с точкой О и, наконец, с нею же самою.
С6 На черт. 33 обозначим соответственно через г, р и /? радиусы окружностей К, KI и К\, через О, со, Oj — их центры. Положим также OQ — t, OQ1 = 1, ООг = а^ Ои> = а (на прямой OOi выбирается положительное направление, определяющее-знаки чисел ОО\, Ош).
Проведя радиусы ™Q' и О,@, имеем:
поэтому:
Пусть теперь Oi(Ri), O^(R-^, О3(К-Л) б>дут три окружности, a o>i(pi), «й3(рз) — окружности им обратные при инверсии 0(г).
Если точки i, со,, со3 лежат на прямой k, то k есть (выродившаяся) окружность, ортогональвая относительно окружностей co^pj), ю2(р2), cos(ps). Поэтому фигурой, обратной прямой k, будет окружность К, проходящая через центр инверсии О и ортогональная в отношении окружностей O](/?i), 02(/?2), О3(/?з)-Наоборот, если центр инверсии О лежит на упомянутой окружности К, то обратной ей фигурой будет прямая k, ортогональная в отношении окружностей toi(pi)i Шг(р2)> <°з(Рз) и проходящая поэтому через центры coj, со2, со3. Всегда можно' при помощи инверсии заменить три данные окружности тремя окружностями, центры коих лежат на одной прямой k.
Пусть O\(R\), О^(/?2), Оз(./?з) будут такими именно окружностями. Для того-чтобы при инверсии относительно О(г) центры <а\, ю2, ю3 лежали на одной прямой, необходимо и достаточно выбрать центр инверсии О на той прямой k на которой лежат центры Ot, О.,, 03. Предположив это условие выполненным,
220

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230


Математика