Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Адлер А.N. Теория геометрических построений Изд3
 
djvu / html
 

дратных радикалов, то путем приобщения квадратных радикалов может быть образована область, которой принадлежит л^; той же области должен принадлежать и второй корень уравнения; третий же корень xs принадлежит тогда предшествующей области.
Но так как АГЗ принадлежит предпоследней области, то с помощью аналогичных умозаключений выведем, что хг или х2 принадлежит предпоследней области, а оставшийся корень относится к области, ей предшествующей, и т. д. Наконец, таким путем придем к области рациональных чисел.
Таким образом мы видим, что допущение, будто один из корней уравнения может быть представлен с помощью квадратных корней, должно быть отвергнуто, коль скоро уравнение не имеет рациональных корней, что именно и было' предположено.
Этим показано, что кубическое уравнение (1) неразрешимо в квадратных радикалах, в случае если оно не имеет рациональных корней.
В) Кубическое уравнение общего вида
г» -\. А& -\-Bz-\- С =0 (1)
с помощю подстановки
может быть представлено в форме:
хЗ-\-ах = Ь. (3)
Таким образом общее уравнение третьей степени может быть представлено в приведенной форме (3) без употребления квадратных корней.
Поэтому общее уравнение и полученное из него приведенное уравнение либо оба одновременно имеют рациональные корни, либо оба их не имеют.
Следовательно, полученное выше предложение может быть формулировано в общем виде: кубическое уравнение с рациональными коэфициентами, не имеющее рациональных корней, не может быть разрешено в квадратных радикалах.
С) Необходимо еще показать, как узнать, имеет ли уравнение третьей степени с рациональными коэфициентами рациональные корни.
Это выполняется с помощью легко доказуемого предложения Алгебры, которое гласит: если уравнение имеет исключительно целые коэфициенты и коэфициент при наивысшей степени не'известного равен -j-lj то каждый рациональны и корень уравнения должен быть целым числом, на которое свободный член делится без остатка.
Доказательство. Пусть будет дано уравнение
х» + Й1х«- '-]-... +ая_1ж + а„ = 0, (1)
где av a^...an суть целые числа.
140

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 160 170 180 190 200 210 220 230


Математика