Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Адамар Ж.N. Элементарная геометрия Часть2 Стереометрия
 
djvu / html
 

740 РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Так как число слагаемых в левой части равно числу граней F, то это уравнение можно переписать в виде
(о, -J- 02 ~^~ • • •) — (ni ~~{~ пг ~\~ • • •) ^ ~\~ 2/=1п=4тг.
Далее al -\- о2 4-. .. = 25тт, так как сумма углов на шаре вокруг каждой из 5 вершин сферических многоугольников равна 2тг, и «, -\-п2-\-.. . = 2Л (упр. 838). Предыдущее равенство принимает вид:
28тс — 2Лтт -(- 2Ртс = 4тт,
откуда и вытекает теорема Эйлера.
Пусть теперь данный многогранник — правильный и имеет /и-уголь-ные грани и /г-гранные углы, а точка О совпадает с центром многогранника. В таком случае углы при вершинах А, В и С сферического треугольника ABC (п. 557, черт. 213 на стр. 229) будут соответственно равны —, — и -у , а его площадь —-)—~~|--s-----тт =
= (-----1----------ту ) тт. В то же время поверхность сферы разбивается
\ Л Ш 2 )
на 2mF треугольников таких, как ABC, так как каждой из F граней многогранника соответствует 2т таких треугольников на шаре. Так как имеет место равенство mF=2A (п. 561), то площадь каждого
из равных треугольников, таких, как ABC, равна ;т-т=-т-- Прирав-
Qf\ f\
нивая оба выражения для площади треугольника ABC, мы получаем уравнение:
^Г + '^"==У + "Л'
т. е. равенство (6'), выведенное в п. 561 из других соображений. 848. Если AJ, А2, ... — расстояния точки, лежащей внутри правильного многогранника от плоскостей всех его граней, 5 — площадь грани, V — объём многогранника, то имеет место равенство:
так как сумма объёмов пирамид, имеющих своими основаниями все грани многогранника, а своей общей вершиной — данную точку, равна объёму многогранника. Из этого равенства и следует, что
3V AJ Ч- А2 4-... = -=- = const.
О
849. Рассмотрим одну из граней правильного октаэдра, например грань ABC на чертеже 214 (стр. 230), а также три другие его грани, каждая из которых имеет с первой общую вершину, но не имеет с ней общих рёбер; на том же чертеже это будут грани АВ'С', А'ВС' и А'В'С. Продолжив эти грани до взаимного пересечения, мы получим вписанный в тот же куб правильный тетраэдр (ср. черт. 212 на стр. 225); в самом деле, плоскости граней ABC и АВ'С' пересека-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750


Математика