Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Адамар Ж.N. Элементарная геометрия Часть2 Стереометрия
 
djvu / html
 

710 РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
818. Пусть требуется найти окружность С, касающуюся данной окружности С и пересекающую другую данную окружность С" в двух точках под прямым углом.
Инверсия / с полюсом в какой-либо точке окружности С" (для определённости, не лежащей на окружности С') и произвольной степенью преобразует данную окружность С' в некоторую окружность с', другую данную окружность С" — в прямую с", искомую окружность С—в окружность или прямую с. Таким образом, мы приходим к следующей задаче:
Найти окружность с, касающуюся данной окружности с' и пересекающую данную прямую с" в двух точках под прямым углом (или же прямую с, касающуюся данной, окружности с' и пересекающую данную прямую с" под прямым углом).
Эта последняя задача легко решается, если принять во внимание, что касательная в точке касания искомой окружности с и данной окружности с' (или же искомая касательная с к окружности с') лежит в одной плоскости с прямой с". Поэтому достаточно провести касательные к окружности с' из точки пересечения плоскости этой окружности с прямой с" (а если эти плоскость и прямая параллельны, то касательные к окружности с', параллельные прямой с"], чтобы определить точку касания окружности (или прямой) с с данной окружностью с', после чего не представляет затруднений и построение самой окружности (или прямой) с. После того как окружность (или прямая) с построена, окружность С получается с помощью рассмотренной выше инверсии /.
Задача становится неопределённой, если прямая с" лежит в плоскости окружности с', т. е. если окружности С и С" лежат на одном шаре или в одной плоскости. В других случаях наибольшее число решений — два.
819. Обозначим через (Р) и (Q) какие-либо два конуса, описанных около данного шара, через Р и Q—их вершины, через А и В — соответствующие окружности касания. Через окружности А и В проходят (п. 521) два конуса; обозначим эти конусы через (Я) и (К), а их вершины — через Н и К.
Пусть М—одна из точек пересечения конусов (Р) и (Q); обозначим через М' и М" соответственно точку пересечения образующей РМ конуса (Р) с окружностью А и точку пересечения образующей QM конуса (Q) с окружностью В. Прямая РМ имеет своей взаимной полярой относительно шара (п. 505) касательную к окружности А в точке М', прямая QM—касательную к окружности В в точке М". Отсюда следует, что полярная плоскость любой точки пересечения М конусов (Р) и (Q) обладает следующим свойством: она содержит одну из касательных к окружности А и одну из касательных к окружности В.
Найдём теперь все плоскости, обладающие этим последним свойством, т. е. содержащие одну из касательных к окружности А и

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 730 740 750


Математика