Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Адамар Ж.N. Элементарная геометрия Часть2 Стереометрия
 
djvu / html
 

650 РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
которых не лежат на одной прямой (эта оговорка в дальнейшем повторяться не будет), воспользуемся следующими соображениями.
Каждый из двух биссектральных шаров двух данных пересекающихся шаров есть, очевидно, шар инверсии, преобразующей эти шары один в другой. Полюсами этих двух инверсий, т. е. центрами биссектральных шаров, будут центры подобия данных шаров. Пели два шара не имеют общих точек, то существует только одни шар, инверсия относительно которого преобразует данные шары один в другой; этот шар естественно назвать биссектральным шаром двух "данных шаров (ср. Пл., п. 321). Если данные шары расположены один вне другого (один внутри другого), то центром этого шара будет их внешний (соответственно — внутренний) центр подобия. Аналогичное положение имеет место н для двух шаров, касающихся друг друга. Заметим далее, что три тара, проходящие через одну окружность, можно рассматривать как частный случай трёх шаров, имеющих общую радикальную плоскость.
Мы можем теперь сформулировать следующее предложение, являющееся обобщением предложения I на случай трёх произвольных шаров.
1а. Если три шара, инверсии относительно которых преобразуют три данных шара, взятых попарно, друг в друга, выбраны так, что их центры лежат на одной прямой, то эти три шара инверсии имеют общую радикальную плоскость.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству соответствующей теоремы для трёх окружностей на плоскости (Пл., задача 276).
Пусть Si, S2 и 53 — три данных шара; 223, 213 и 2]2— шары инверсий, преобразующих соответственно S2 в Ss, Sa в S^ и 5: в S2. Эти шары выбраны так, что их центры лежат на одной оси подобия данных шаров.
Всякий шар, ортогональный одновременно к шарам S2 н 223,' преобразуется в себя инверсией относительно шара ^зз " потому будет ортогонален н к шару Ss; следовательно, три шара S2, S3 н ^2S имеют общую радикальную плоскость (ср. Пл., п. 228). Эта радикальная плоскость проходит через радикальную ось трёх данных шаров. Поэтому произвольная точка этой радикальной оси имеет относительно шара ^jzs ту же степень, что и относительно каждого из данных шаров. То же имеет место и для каждого из шаров 2]3 н 2,2. Следовательно, общей радикальной плоскостью шаров 523, 2,3 и 212 служит плоскость, проходящая через радикальную ось трёх данных шаров и перпендикулярная к той их оси подобия, на которой лежат центры трёх шаров 2.
Предложение 1а можно доказать и с помощью предложения, приведённого в упражнении 771, но лишь для того случая, когда какие-либо два из трёх шаров инверсии пересекаются; пусть это будут шары
?» и 2„.
Примем за полюс инверсии с произвольной степенью одну из общих
точек шаров 2i2 » 2is- B СИЛУ сказанного в решении упражнения 771,

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750


Математика