Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Адамар Ж.N. Элементарная геометрия Часть2 Стереометрия
 
djvu / html
 

630 РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
ладать и точки т, п, т' и «', соответствующие им в инверсии Т. Так как точки т и т', очевидно, могут быть выбраны произвольно, то отсюда следует, что операция, преобразующая точку т в т', есть инверсия.
Если р — полюс этой новой инверсии, Р — точка, соответствующая ему в инверсии Т, Р' — точка, соответствующая точке Р в инверсии S, то точка Р' должна совпадать с полюсом инверсии Т; действительно, инверсия Т должна была бы преобразовать точку Р' в ту точку, которая соответствует точке р в инверсии s; но точке р не соответствует в инверсии s никакой точки. Таким образом, полюс р новой инверсии s получается из полюса Р' инверсии Т, если выполнить над последним сначала инверсию 5 (преобразующую его в точку Я), а затем над полученной точкой—инверсию Т.
Примечание. Изложенное здесь решение приведено у самого Ада-мара (см. первое издание второй части, п. 914). Можно было бы решить эту задачу аналогично тому, как была нами решена соответствующая задача на плоскости (ср. Пл., решение упр. 250).
763. В отличие от решения соответствующей задачи на плоскости (Пл., упр. 251), мы не будем здесь предполагать, для общности, что степени обеих инверсий положительны.
1) Если степени инверсий S и S' положительны и оба шара инверсии имеют хотя бы одну общую точку, то примем одну из общих точек обоих шаров (или единственную их общую точку, если шары касаются друг друга) за полюс инверсии Т, степень которой выберем произвольно. Инверсия Т преобразует шары обеих инверсий S и S1 в две плоскости s к s', а фигуры F и F"—в фигуры / и /", получающиеся одна из другой с помощью двух последовательных симметрии относительно плоскостей s и s'. Эти две фигуры будут, следовательно, равны.
Если степени инверсий 5 и S1 положительны и оба шара инверсии не имеют общих точек, то примем за полюс инверсии Т одну из предельных точек обоих шаров (ср. упр. 709). Степень инверсии Т выберем произвольно. Инверсия Т преобразует шары инверсий S и & в два концентрических шара (ср. обобщение упражнения 248 в решении упр. 760) s и s', а фигуры F и F"-—в фигуры / и /", получающиеся одна из другой с помощью двух последовательных инверсий относительно концентрических шаров s и s'. Следовательно, фигуры / и /" будут гомотетичны относительно общего центра шаров s и s' (п. 507).
Чтобы иметь возможность рассмотреть случай, когда степень хотя бы одной из двух инверсий отрицательна, докажем следующее общее предложение:
• Каковы бы на была две инверсии с различными полюсами, существует бесчисленное множество шаров, каждый из которых преобразуется в себя как той, так и dpvzou инверсией. Центры всех этих шаров лежат в одной плоскости, и прямая, соединяю-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750


Математика