Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Адамар Ж.N. Элементарная геометрия Часть2 Стереометрия
 
djvu / html
 

610 РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
большим кругом, принадлежит к первому семейству. Аналогично можно построить шар второго семейства.
Однако может случиться, что все шары одного семейства принадлежат к одной и той же группе, так что шаров другой группы в этом семействе не существует.
Так, если при а = а' = 0 шар S' лежит внутри шара S, то в первом семействе (шаров, касающихся обоих данных одинаковым образом) существуют шары группы (1), пересекающие шар 5 под углом, строго равным нулю, и шар 5' — также под углом, строго равным нулю (т. е. шары, касающиеся обом данных шаров внутренним образом), но не существует шаров группы (2), пересекающих шар 5 под углом, строго равным 2d, и шар 5' — также под углом строго равным 2d (т. е. шаров, касающихся обоих данных внешним образом) Если же при а = а' = 0 шар S' лежит вне шара 5, то существуют, очевидно шары всех четырёх групп.
Пусть в первом семействе существует шар 50 группы (/), т. е, шар, пересекающий шары 5 и S' под углами, строго равными а и а'. Пусть далее 2 — некоторый другой шар первого семейства, принадлежащий к первой (ко второй) группе, т. е. пересекающий шары 5 и S" под углами, строго равными а и а' (строго равными Id—а и 2d—а'). Так как шар 5 пересекает шары 20 и 2 под строго равными (пол строго пополнительными) углами, то он пересекает их по двум окружностям, антигомологичным относительно внешнего (внутреннего) центра подобия Р шаров 20 и 2; то же имеет место для шара S1. Отсюда следует, что точка Р имеет относительно шаров 5 и S1 одну и ту же степень р, равную степени той инверсии / с полюсом Р, которая преобразует шар 20 в шар 2 (а каждый из шаров 5 и S'—сам в себя). Поэтому точка Р лежит в радикальной плоскости шаров 5 и S' и, значит, имеет ту же степень р и относительно любого шара S", имеющего с 5 и 5' общую радикальную плоскость. Следовательно, шар S" преобразуется инверсией / сам в себя и потому (если он пересекает один из шаров 20 и 2) пересекает шары 20 и 2 под строго равными (под строго пополнительными) углами.
Если шар S, принадлежащий к группе (/), равен шару ?0, то последние рассуждения требуют видоизменения. В этом случае шар 5 пересекает шары 2, и S по двум окружностям, симметричным относительно радикальной плоскости М шаров S0 и Е, и то же имеет место для шара S'. Отсюда легко заключить, что симметрия /о относительно плоскости М преобразует шар 2ц в шар 2, а каждый из шаров 5 и S' — сам в себя. Следовательно, шар S", имеющий с 5 и S' общую радикальную плоскость, преобразуется симметрией /j сам в себя и потому (если он пересекает один из шаров SQ и S) пересекает шары SQ и S под строго равными углами. Симметрия /0 относительно плоскости М играет при этом роль инверсии / (ср. п. 507, конец). В дальнейшем изложении решения такого рода оговорки делаться не будут.
Итак, все шары 2, пересекающие шары S и S' под углами, строго равными а и а' (строго равными Id — а и Id—а'), пересекают шар S" под углом, строго равным (строго пополнительным) тому, под которым его пересекает шар 20. Если не делать различия между двумя углами, которые шар 2 образует с шаром S", то можно сказать, что все

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750


Математика