Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Адамар Ж.N. Элементарная геометрия Часть2 Стереометрия
 
djvu / html
 

600 РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
откуда а = а'. Но а есть угол между окружностями SAB и SAC, л а' — угол между окружностями SBC и ABC. Таким же образом докажем, что р = р' и y=Y'-
751. Пусть ABCD — данный тетраэдр; Л', В' и С1 — точки, соответствующие точкам Л, В и С в инверсии с полюсом D и некото-
рой степенью k. При этом будем иметь (п. 509): В'С'=^ВС- л» >,*
и аналогичные выражения для С А' и А'В'. Из этих трёх выражений находим:
В' С : С А' : А'В' = (BC-DA): (С A -DB):(AB- DC).
Так как в правую часть этих соотношений все четыре вершины входят вполне равноправно, то мы получим те же отношения сторон в треугольнике, аналогичном А'В'С', который получится, если принять за полюс инверсии какую-либо другую вершину тетраэдра. Следовательно, и углы полученных треугольников будут одни и те же. Если теперь Alt ??,, С1 и D, — точки, соответствующие точкам А, В, С и D в инверсии с полюсом О (отличным от вершин тетра-
эдра) и степенью kv то мы имеем А1В1=АВ-Г. . * и аналогичные
(JA • U а
выражения для С^, В^, .... Из этих выражений находим: (ВС- DA) :(СА- DB) :(АВ- DC) =
Полученные равенства показывают, что рассматриваемые треугольники (аналогичные А'В'С1) будут иметь для тетраэдра ABCD ту же форму, что и для тетраэдра A1B1C1D1.
752. Пусть О — данная точка; k=^=Q — данное произведение отрезков, которое мы будем считать положительным или отрицательным (в зависимости от того, лежат ли оба отрезка по одну сторону или по разные стороны от точки О).
Если две точки А и Л', лежащие с точкой О на одной прямой, удовлетворяют условию OA-OA'^k (по величине и знаку), то точка Л' соответствует точке Л в инверсии с полюсом О и степенью k. Если при этом точка А лежит в данной плоскости Р (не проходящей, по смыслу задачи, через О), то точка А' лежит на шаре Р, обратном плоскости Р. Так как точка А' лежит по условию во второй данной плоскости Q, то она должна лежать на линии пересечения этой плоскости с шаром Р'.
Отсюда следует, что искомым геометрическим местом будет конус с круговым основанием, если плоскость Q пересекает шар Р'. Если плоскость Q касается шара Р', то существует лишь одна прямая, удовлетворяющая поставленному условию, а если плоскость Q не имеет общих точек с шаром Р1, то таких прямых вовсе не существует.
753. Пусть О — данная точка, через которую должны проходить искомые прямые. Так как проекции равных и параллельных отрезков

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750


Математика