Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Адамар Ж.N. Элементарная геометрия Часть2 Стереометрия
 
djvu / html
 

570 _ РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
предельных точек будет окружность, а именно общая окружность всех шаров, пересекающих обе данные окружности под прямым углом.
Если радикальная ось данных окружностей касается одной из них в некоторой точке (и, следовательно, обе окружности касаются друг друга в этой точке), то искомое геометрическое место обращается в точку касания, а если радикальная ось пересекает одну из данных окружностей в двух точках (и, следовательно, обе окружности пере-
секаются между собой в этих точках), то иско-мое геометрическое место не существует.
Наконец, если данные окружности коак-\ сиальны, то искомым геометрическим местом предельных точек будет их общая ось.
713. Пусть три попарно перпендикуляр-ные прямые, проходящие через данную точ-/ ку S, пересекают данный шар O(R) — одна в точках А и А', другая в точках В и В', третья в точках С и С' (черт. 441).
Обозначим через L, М и TV середины хорд АА', ВВ' и СС. Точки L, M, N, О и S служат вершинами прямоугольного параллелепипеда, остальными тремя вершинами
которого будут центры Olt O2 и О3 тех окружностей, по которым данный шар пересекает соответственно грани BSC, CSA и ASB трёхгранного угла SABC. По теореме о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда (п. 412) имеем:
•. j
= OS2. (I)
Далее мы имеем: OL2==OO22-\-OO32; ОМ2 = ОО32 -[- OOf и CW2=OO,2-[-OO22, откуда:
OL2 -[- ОМ2 -[- ON2 = 2 (ОО,8 + ООг2 -\- ОО32) = 2 OS2. (2)
1 ) Выражение для суммы квадратов трёх хорд, отсекаемых на рёбрах трёхгранного угла, можно преобразовать теперь следующим образом: А А'* + Bff* 4- СС'2 = 4^L2 -f 4ВЖ2 -f 4C/V2 = 4 (О А2 — OL2) -f 4- 4 (OB2 — ОМ2) -[- 4 (ОС2 — ON2) = 1 2/?2 — 4 (OZ,2 -J- ОЖ2 -[- O/V2), откуда в силу равенства (2), найдём:
(3)
Это равенство и показывает, что сумма квадратов рассматриваемых хорд постоянна (для данной точки S).
Примечание. Из последнего равенства для вершины S трёхгранного угла с тремя прямыми плоскими углами, все рёбра которого пересекают шар, имеем условие: 12^z_gOSz>0 или
2) Точка S может лежать как внутри шара (черт. 441), так и на -самом шаре или вне его. Выбирая на каждой из трёх прямых SA, SB

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750


Математика