Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Адамар Ж.N. Элементарная геометрия Часть2 Стереометрия
 
djvu / html
 

510 РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
решения, одно решение или вовсе не будет иметь решений в зависимости от того, лежит ли точка М вне окружности С, на окружности или внутри окружности.
Построение требует видоизменения, если прямая SM окажется параллельной плоскости основании. В этом случае строим касательные к окружности С, параллельные прямой SM. Плоскости, проведённые через вершину конуса и через каждую из этих касательных, и будут искомыми. В этом случае задача имеет два решения.
656. Пусть конус вращения с вершиной 5 касается граней двугранного угла с ребром SP вдоль образующих SA и SB (черт. 414). Обозначим через О центр основания конуса.
1) Треугольники SPA я SPB равны по равенству трех сторон; следовательно, /_ PSA — ^_ PSB.
2) Трёхгранные углы SOPA и SOPB симметричны по равенству трёх плоских углов. Следовательно, равны их соответственные двугранные углы при общем ребре SP.
Таким образом, доказаны оба утверждения теоремы.
657. Пусть SO — ось одного из конусов вращения, касающихся двух данных плоскостей PSA и PSB (черт. 414). Плоскость PSO образует с этими двумя плоскостями равные двугранные углы (упр. 656) и потому является биссектральной плоскостью одного из двугранных углов, образованных данными плоскостями.
Обратно, пусть SO — некоторая прямая, лежащая в такой биссектральной плоскости и пересекающая ребро двугранного угла в некоторой точке 5, и О—произвольная точка на этой прямой. Проводим через точку О плоскость, перпендикулярную к прямой SO, и обозначим через Р точку пересечения этой плоскости с ребром двугранного угла (мы предполагаем, что построенная плоскость пересекает ребро последнего), через РА и РВ — линии пересечения той же плоскости с его гранями. Прямая РО будет биссектрисой угла АРВ (ср. реше--ние упр. 463). Следовательно, существует окружность с центром О, лежащая в построенной плоскости и касающаяся прямых РА и РВ. Конус, имеющий эту окружность направляй-шей и точку 5 своей вершиной, касается обеих плоскостей SPA и SPB. Это рассуждение требует небольшого видоизменения, если плоскость, проходящая через точку О и перпендикулярная к прямой SO, параллельна линии пересечения данных плоскостей.
Из сказанного следует, что искомое геометрическое место есть пара биссектральных плоскостей двугранных углов, образованных данными плоскостями.
658. Ось конуса вращения образует равные углы со всеми его образующими. Следовательно, ось любого из рассматриваемых конусов образует с обеими данными прямыми равные углы. Обратно, любую прямую, образующую с двумя данными прямыми равные углы, можно принять, очевидно, за ось конуса вращения, проходящего через обе вти прямые. В силу п. 356, искомое геометрические место есть пара

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750


Математика