Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Адамар Ж.N. Элементарная геометрия Часть2 Стереометрия
 
djvu / html
 

460 РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Для этого проведём опять через произвольную точку М прямой АХ прямую ММ', параллельную А А' и, следовательно, лежащую в плоскости параллельных прямых АХ и А'Х'', и обозначим через М' точку её пересечения с прямой А'Х'. Обозначим далее через А0 и Ж0 соответственно точки пересечения отрезков АА' и ММ' с плоскостью Р. Так как четырёхугольники АММ0А0 и А'М'М0А0 — параллелограмы, то ААй = ММ0 и А'А0 — М'М0. Кроме того АА0 = А'А0 (по определению косой симметрии), и потому Л4М0 = Л4'М0. Отсюда и следует, что в данном случае фигурой, косо-симметричной прямой АХ, будет прямая А'Х'.
2) Пусть F' есть фигура, косо-симметричная данной плоскости F относительно плоскости Р. Рассмотрим две произвольные точки М' и N' фигуры F' и соответствующие им точки М и N плоскости F. Так как все точки прямой MN лежат в плоскости F и так как фигура, косо-симметричная прямой MN, есть, по доказанному, прямая M'N', то прямая M'N' целиком принадлежит фигуре F'. Итак, фигура F' обладает следующим свойством: прямая, соединяющая любые две точки этой фигуры, целиком ей принадлежит. Но существуют только три фигуры, обладающие этим свойством, а именно прямая, плоскость и всё пространство (ср. п. 327).
Фигура F' не может быть прямой линией, так как иначе и фигура F, косо-симметричная фигуре F*, была бы прямой линией, как это было доказано выше. Фигура F' не может также состоять из всех точек пространства, так как иначе и фигура F состояла бы, очевидно, из всех точек пространства. Следовательно, фигура F' есть плоскость. 3) Предположим сначала, что данный многогранник есть треугольная призма или треугольная усечённая призма, боковые рёбра которой параллельны данной прямой D. При этом многогранником, косо-симметричным данному, будет также треугольная призма или треугольная усечённая призма. Обе призмы или усечённые призмы будут, очевидно, иметь соответственно равные боковые рёбра и равные перпендикулярные сечения и потому будут равновелики (п. 431, следствие).
Так как всякую призму или усечённую призму можно разбить на треугольные плоскостями, проходящими через диагонали оснований и боковые рёбра, то доказываемое свойство будет иметь место и для любой призмы или усечённой призмы, боковые рёбра которой параллельны данной прямой D, а не только для треугольной.
Наконец, в силу того, что всякий многогранник можно разбить на усечённые призмы, все боковые рёбра которых параллельны данной прямой D (упр. 577), всякие два многогранника, косо-симметричные относительно некоторой плоскости, равновелики.
618. Первое решение. Проведём через данную прямую D две произвольные плоскости PJ и Р2 (черт. 397) и обозначим через D1 линию пересечения плоскостей Р2 и Р, и через D2 — линию пересечения плоскостей Р\ и Р. Если точка М' соответствует некоторой точке М, как указано в тексте задачи, то построим точку Ж", косо-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750


Математика