Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Адамар Ж.N. Элементарная геометрия Часть2 Стереометрия
 
djvu / html
 

400
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
два противоположных ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны, и «го вершины расположены, как указано в задаче 527. Обратно, если каждые два противоположных ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны, то в силу сказанного выше четыре прямые, о которых идёт речь, попарно пересекаются. Так как эти прямые не лежат все четыре в одной плоскости, то они проходят через одну точку Н (упр. 423).
При этом плоскость АВН будет, как мы уже указывали выше, «ерпендикулярна к грани BCD, и то же будет иметь место для каждой из плоскостей АСН и ADH. Следовательно, прямая АН будет высотой тетраэдра; высотами будут также и прямые ВИ, СН и DH. Итак, высоты тетраэдра с ортогональными рёбрами совпадают с теми четырьмя прямыми, о которых идёт речь, и потому проходят через одну точку.
Примечание. Пользуясь сказанным в решении задачи 527, непосредственно получим следующие предложения:
Если прямые d двух трёхгранных уг.гов тетраэдра, имеющих своими вершинами концы данного его ребра, пересекаются, то суммы квадратов тех двух паг противоположных рёбер тетраэдра, в которые не входит
данное ребро, равны между собой, я обратно. Так, если пересекаются прямые d трёхгранных углов при вершинах А и В тетраэдра, то ребро АВ перпендикулярно к CD, и потому АС'* + BD2 = В& -\-ALP.
Если четыре прямые d трёхгранных углов тетраэдра проходят через одну точку, то суммы квадратов трёх пар противоположных рёбер тетраэдра равны между собой, и обратно.
См. еще примечание к решению упражнения 549.
548. Будем называть для краткости прямой Д трёхгранного угла линию пересечения трёх плоскостей, каждая из которых проходит через биссектрису одно-го 'пз его плоских углов и перпендикулярна к плоскости этого угла (упр. 489, 2°); прямая Д образует равные углы с рёбрами трёхгранного угла.
Пусть прямые Д трёхгранных углов тетраэдра проходят все четыре через одну точку О (черт. 345); опустим из точки О перпендикуляры OK, OL, ОМ, ON, 01 и OJ на рёбра АВ, ВС, CD, DA, АС и BD тетраэдра. Так как прямая АО образует равные углы с рёбрами АВ, АС и AD, то треугольники АОК, AOI и AON равны и, следовательно, отрезки АК, AJ и AN также равны. Обозначая общую величину этих отрезков через а, будем иметь АК=А1 = = AN=a. Аналогично найдём: BL = BJ = BK=b; CM = CI= = CL = c; DN = DJ = DM = d. Отсюда AD + BC = AN+DN+ -\- BL -|- CL = а -\- b -\- с -\- d. Таким же образом получим BD -\- АС =
Черт. 345

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750


Математика