Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Адамар Ж.N. Элементарная геометрия Часть2 Стереометрия
 
djvu / html
 

260 ПРИБАВЛЕНИЕ О
С этой целью предварительно докажем следующие две леммы:
Лемма I. Площадь одной грани любого многогранника меньше суммы площадей остальных его граней.
Действительно, спроектируем все эти остальные грани на плоскость данной грани. Очевидно, что совокупность этих проекций покроет всю данную грань (может также случиться, что она выйдет за границы данной грани или покроет несколько раз всю эту грань или отдельные её части). Но площадь каждой грани (п. 381) больше или равна площади её проекции.
Лемма II. Поверхность выпуклого многогранника меньше поверхности любого объемлющего его многогранника.
Обозначим через 5 поверхность данного выпуклого многогранника и через S' — поверхность объемлющего его многогранника, который может иметь одну или несколько общих граней *) с данным многогранником (только бы никакая его часть не лежала внутри первого многогранника). Обозначим через п число граней многогранника S, не принадлежащих S'. Если п=1, то теорема доказана, так как площадь единственной грани многогранника S, не принадлежащей S', меньше суммы площадей тех граней многогранника 5', не принадлежащих S, которые образуют с этой гранью некоторый многогранник.
Если п больше 1, то продолжим плоскость Р одной из граней многогранника S, не принадлежащих S'; таким образом, мы разделим поверхность многогранника S' на две части, из которых одна — назовём её 5,' — расположена от плоскости Р по ту же сторону, что и многогранник 5, а другая S., — по другую сторону от этой плоскости. Заменяя 52 частью плоскости Р, ограниченной тем же контуром, что и Sz, мы уменьшим поверхность S% (по предыдущей лемме). Таким образом, мы получим новый многогранник, объемлющий многогранник 5 и имеющий ещё одну новую общую с ним грань.
Очевидно, что, продолжая это построение, мы придём к случаю, когда п = 1. Следовательно, наше предложение доказано.
Примечание. Аналогичное предложение имеет место (и доказывается тем же путём) для выпуклой незамкнутой многогранной поверхности и для объемлющей её многогранной поверхности, ограниченной тем же контуром.
587. Пусть имеем теперь замкнутую выпуклую поверхность S. Будем снова рассматривать многогранники Рп и Qn, одни из которых будут лежать внутри поверхности S, а другие будут заключать внутри себя поверхность 5. Но на этот раз мы наложим на эти многогранники требование, чтобы они были выпуклыми. Тогда, в силу леммы II, поверхность каждого многогранника Рп будет меньше поверхности 'любого многогранника Qn. Следовательно, если предпи-
!) Грань многогранника S рассматривается как обшая грань обоих много! ран ни ков, если она лежит в плоскости олной из граней многогранника S.'

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750


Математика