Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Адамар Ж.N. Элементарная геометрия Часть2 Стереометрия
 
djvu / html
 

140
КНИГА ВОСЬМАЯ. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
Если число сторон основания неограниченно возрастает, и притом так, что длина каждой из них стремится к нулю, то сумма АВ -\- ВС -{-••• стремится к длине окружности основания. Что касается высот, то если мы рассмотрим, например, высоту SH треугольника SAB (черт. 136), которая проходит через середину Н стороны АВ, то из треугольника SAH мы видим, что эта высота заключается между SA и SA — АН,
т. е. между SA и SA-----^- Следовательно, высота SH стремится
к SA, если АВ стремится к нулю; и когда наибольшая из сторон \В, ВС, ... стремится к нулю, наибольшая и наименьшая из рассмотренных выше высот стремятся к образующей конуса. Следовательно, то же самое имеет место для величины а, и теорема доказана ').
СЛЕДСТВИЕ. Обозначим теперь образующую конуса через а, и пусть /? будет радиусом его основания. Боковая поверхность конуса равна -к- • 2тг/? • а = тг/?с.
Полная поверхность конуса получится от прибавления к боковой поверхности площади его основания, что даёт тг/?с -f тг/?2 = тг/? (a -f- R).
Примечание. Если бы вместо вписанных в конус пирамид мы рассматривали описанные пирамиды (т. е. пирамиды, имеющие своими основаниями многоугольники, описанные около основания конуса, а вершиной — вершину конуса), то мы могли бы установить, что боковые поверхности таких пирамид стремятся к тому же пределу, что и боковые поверхности вписанных пирамид.
В самом деле, предыдущее рассуждение можно повторить при этих новых условиях с тем
видоизменением, что в описанной пирамиде SA'B'C'D1... (черт. 137) высоты всех треугольников SA'B', SB'C',... постоянно равны образующей
Черт. 137.
a-f a'-fa'-f...
то дробь
числшпем которой есть сумма числителей и знаменатель которой есть сумма знаменателей, заключается между наименьшей и наибольшей из данных дробей, если только эти дроби не все равны Mexcdv собой: е пос-1еднем случае рассматриваемая дробь равна данным дробям (см., например, Т а н н е р и, Курс арифметики, п. 188, стр. 263, М. 1913; или К р ы ж а н о в-гкий, Элементы теории неравенств, стр. 93, М.—Л. 1936).
!) В противоположность тому, что мы выше видели для цилиндра, и тому, что мы увидим далее для объема конуса, доказательство, относящееся к поверхности конуса вращения, не распространяется на конусы более общего вида. Для других типов конусов (в частности, для наклонного конуса с круговым основанием) можно доказать существование предела, ио нельзя дать элементарного выражения для этого предела, по крайней мере в общем случае.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750


Математика