Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Адамар Ж.N. Элементарная геометрия Часть2 Стереометрия
 
djvu / html
 

120 КНИГА СЕДЬМАЯ- ПЕРЕМЕЩЕНИЯ- СИММЕТРИЯ, ПОДОБИЕ
Теорема. Две фигуры, симметричные с одной и той же третьей фигурой, одна — относительно i чки, другая — относительно плоскости, равны между собой.
В силу предыдущей теоремы достаточно доказать эту теорему для некоторого определённого положения центра симметрии; тем самым теорема будет доказана для всякого положения центра симметрии.
Мы можем, следовательно, предположить, что центр симметрии О лежит в плоскости симметрии Р. Мы покажем, что при этом условии фигуры, симметричные с данной фигурой F, одна относительно точки О, другая — относительно плоскости Р, получаются одна из другой с помощью транспозиции около некоторой прямой; этой прямой служит перпендикуляр ОХ к плоскости Р, проходящий через точку О.
В самом деле, пусть М—произвольная точка фигуры F (черт. 118); М^ — точка, ей симметричная относительно точки О; Мг — точка, ей симметричная относительно плоскости Р, так что отрезок ММг перпендикулярен к плоскости Р, и его середина т лежит в этой плоскости. Прямая ОХ, параллельная ММа и проходящая через середину отрезка ММг, пересекает третью сторону М^М^ треугольника ММ^Мг в середине этой стороны. С другой стороны, прямая М^Мг параллельна прямой От (соединяющей середины отрезков AiMl и ММ2), и потому перпендикулярна к ОХ. Следовательно, точки М^ и М2 получаются одна из другой с помощью транспозиции относительно прямой ОХ.
СЛЕДСТВИЕ. Две фигуры, симметричные с одной и той же третьей фигурой F относительно двух различных плоскостей, равны между собой, так как они обе равны фигуре, симметричной с F относительно какой-либо точки пространства.
Впрочем, можно доказать и непосредственно (упр. 613), что эти две фигуры получаются одна из другой с помощью надлежащим образом выбранного вращения или поступательного перемещения.
444. Теорема, Плоская фигура равна фигуре, ей симметричной относительно произвольной точки или плоскости.
Теорема становится очевидной, если плоскость симметрии совпадает с плоскостью данной фигуры, так как в этом случае данная фигура совпадает с фигурой, ей симметричной. Следовательно, теорема верна вообще в силу сказанного в предыдущем пункте.
В частности: фигура, симметричная с плоскостью, есть плоскость; фигура, симметричная с прямой, линией, есть прямая линия; фигура, симметричная с отрезком, есть отрезок, равный данному отрезку; два угла, симметричных между собой, равны; фигура, симметричная с окружностью, есть окружность, и т. д.
445. СЛЕДСТВИЯ. I. Если данные прямая и плоскость перпендикулярны между собой, то и прямая и плоскост^им симмет-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750


Математика