Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Хинчин А.Я. Математические основы квантовой статистики
 
djvu / html
 

100 СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. II
Мы ограничимся доказательством достаточности этого признака, так как необходимость его нам в дальнейшем не понадобится. С этой целью докажем сначала следующее весьма общее вспомогательное предложение.
Лемма. Пусть Аи В — два линейных самосопряжённых оператора с дискретными спектрами, и пусть АВ = ВА; тогда существует такая полная ортогональная система собственных функций оператора А, все функции которой в то же время являются собственными функциями оператора В.
Доказательство леммы. Мы будем исходить из произвольной полной ортогональной системы собственных функций оператора А. Пусть а — любое собственное значение оператора А и U — любая принадлежащая к нему собственная функция этого оператора, так что
AU=aU. Если АВ = ВА, то
= BkU = В (aU) = aBU,
т. е. вместе с U и функция BU есть собственная функция оператора А, принадлежащая к ?пому же собственному значению а.
Пусть теперь собственное значение а оператора А имеет кратность (степень вырождения) т, и пусть в избранной нами полной ортогональной системе к этому значению принадлежат собственные функции Ult U2, ..., Um. Мы только что показали, что функция BUk (k— I, 2, . . ., т) также есть собственная функция оператора А, принадлежащая к собственному значению а: следовательно, мы должны иметь:
т
BUk = ^aikU{ (*=1, 2, ..., т), (19)
г =1
где aik — некоторые комплексные числа. Пусть теперь
v= 2 ckuk
k = \
— линейная комбинация функций Uk с произвольными комплексными коэффициентами ck, так что V есть также собственная

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250


Математика