Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Сборник N.N. Историко-математические исследования Выпуск 24
 
djvu / html
 

Другими словами, Кантор считает само собой разумеющимся фактом то, что мощности двух произвольных множеств или равны, или одна из них больше другой. У него еще не возникла мысль, что взаимоотношения между множествами, характеризуемые взаимно-однозначным соответствием между ними и их подмножествами, являются гораздо более сложными: еще не появилась идея будущей общей теоремы эквивалентности 2 и не возникло соображение, что для справедливости приведенного утверждения нужно исключить возможность несравнимости мощностей. Но такое исключение возможно только на основе аксиомы выбора. Простое же понятие свойства сравнимости мощностей произвольных множеств является косвенным признанием аксиомы выбора в ее общем виде, ибо утверждение о такой сравнимости есть один из известных основных эквивалентов этой аксиомы.
Следующим фундаментальным понятием, введенным в статье [3], является общее понятие счетного множества. При этом опять следуют неявные обращения к аксиоме выбора. Первое из них выражено в словах Кантора, что «последовательность положительных целых чисел дает, как можно легко показать, наименьшую из всех мощностей, соответствующих бесконечным многообразиям» [3, с. 120]. Никаких доводов в пользу этого утверждения Кантор в указанной работе не приводит. Говоря «легко показать», он, возможно, имел в виду, будущую теорему о том, что всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество,— теорему, доказываемую, как известно, только путем обращения к аксиоме выбора.
Столь же не обоснованы и две его первые теоремы о счетных множествах. На той же с. 120 он утверждает, будто опять-таки легко доказать, что всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно и что сумма счетного множества счетных или конечных множеств тоже счетна. Первую из этих теорем действительно доказать можно очень просто, но при условии, если принято предшествующее утверждение. Что касается второй, то еще в 1908 г. Цермело [7, с. 114] привел ее как пример пред-
2 Хотя зародыш этой теоремы можно видеть в замечании Кантора, что эквивалентности некоторого бесконечного множества правильному подмножеству другого бесконечного множества еще не достаточно, чтобы заключить, что мощность первого множества меньше мощности второго [3, с. 119—120].
220

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390


Математика