Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. Собрание сочинений Том2 Конструктивная теория функций
 
djvu / html
 

Действительно, функция f(z) обладает, по предположению, тем свойством, что
причем последний знак равенства может быть отброшен, если допустить сначала, что выпуклость имеет место в узком смысле. Отсюда следует при этом дополнительном условии, что многочлен Рп(х), обращающий в минимум интеграл /п, должен быть единственным, так как если два многочлена Рп (х) и Qn (x) дают одно и то же значение этому интегралу ,,
то многочлен - = - приведет к меньшему значению.
^j
С другой стороны, при всяком ср
ТТ+ф
* (cos в) |] ?»; (6')
—тс+ф
2тс
следовательно, в частности, взяв ср = — и замечая, что
+ -^4J = -^zr cos /16 + cj cos /г — 1 в + . . . + с'я,
мы должны иметь тождественно (так как многочлен, дающий минимум, единственен)
Pn[cos (б + -^)] = Рп (cos 6). (7)
Это равенство выражает, что jPn(cos6) имеет период — . Таким
л
образом, .Pn(cos6) сводится к единственному члену
|
Действительно *, из равенства (7) следует, что Рп (cos 6) = 7-^7 cos гс
/j
+ Сп. Но Сп == 0, так как, полагая ср = — , мы получаем также, что
/L
Рп (cos ^6 +-^-)) = — ^г cos ^6+ С'п= — Рп (cos 6)= — -^ cos гсб — Сп.
Доказательство окончено для случая, когда / (z) выпукла в узком смысле. Для тоги чтобы перейти к общему случаю, достаточно заметить, что всякая функция, выпуклая в широком смысле, может быть рассматриваема как предельная для функций выпуклых в узком смысле. Следовательно, в этом случае также никакой многочлен Рп (х) не может дать интегралу /п величину, меньшую
Vl—x*
* Этот абзац, который отсутствовал в первоначальном тексте, воспроизводит дополнительное примечание [П к (189*). (Автор.)

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика