Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. Собрание сочинений Том2 Конструктивная теория функций
 
djvu / html
 

Таким образом устанавливается, что при очень общих условиях ортогональные многочлены асимптотически равны многочленам, наименее уклоняющимся от нуля относительно надлежаще выбранного веса. Однако есть важные случаи, когда это равенство уже невозможно. Мы проведем специальное исследование некоторых из этих более трудных случаев, что побудит нас пополнить в некоторых отношениях классическую теорию многочленов Нкоби.
2. Асимптотическое равенство, о котором идет речь, является обобщением соответствующего свойства тригонометрических многочленов Чебышева.
В самом деле, известно, что тригонометрические многочлены Чебышева
, . (х x +х — cos
И =
где х =• cos 6, обладают двумя свойствами:
1. Эти многочлены наименее уклоняются от нуля на отрезке [—1, + 1] среди всех многочленов вида
5n, (2)
2" ^
причем минимальное уклонение равно
4
(3)
2. Из всех рассматриваемых многочленов эти многочлены имеют также наименьшее квадратичное интегральное уклонение относительно веса
которое оказывается равным
cos2 л0 dQ к
17(2) _ Т2 ,, Лп - п (X)
—1 О
Следовательно, многочлены Тп(х) ортогональны относительно веса
а?
и мы имеем
Нп = -~~ Ln. (5)
3. Нетрудно также показать, что многочлены Чебышева Тп(х) минимизируют интеграл
/п= $/[|/>п(*)|]р==р. (6)
—1
какова бы ни была неубывающая выпуклая функция f(x).
8

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика