Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. Собрание сочинений Том2 Конструктивная теория функций
 
djvu / html
 

которую он получил, опираясь на одно свойство нормально возрастающих функций, установленное С. Мандельбройтом, я заметил, что для построения функции FQ(x), удовлетворяющей неравенствам (6) и (А) В. С. Виденского, нет надобности применять результаты С. Мандельбройта, а достаточно пользоваться величинами
п
X = min
—оо<я<оо I X \
при помощи которых я построил в [102] целую функцию
оо
2
fc=l удовлетворяющую неравенству
2Ф (я?) (—
к ^ min ф
При условии (1) функция Рг (х) оказывается выше нулевого рода. Но само неравенство (2), очевидно, не зависит от того, имеет ли место (1) или нет, и остается также верным и без предположения, что Ф (х) g N.
Но для получения целой функции F0(x), удовлетворяющей неравенству Виденского (6), нам потребуется, чтобы Ф (х) была четной нормально возрастающей функцией [Ф (х) ? N}. При этом условии [полагая для определенности Ф (1)= Ф'(1) = 1], как было замечено в [102] стр. 527, если распространить определение Хп на все (нецелые) значения я>-1, то всякое значение #>-1 будет- для некоторого определен-
п
/ ч ^ Л Г / ч Ф7 (*) 1 л: Ф(Х)
ного п = п (х) ;> 1 \п (х) = х ^ ' осуществлять минимум функции — : — у-* , т. е. при любом х = хп >• 1 для соответствующего п ;> 1 будет иметь место равенство
у™хп = Ф (х) . Вследствие Ф' (#)> 0 и Ф (1) = 1 , имеем Ф (я)< 1 при| х |< 1, а так как Хп убывает с возрастанием я, то Хп<1 при л>1. Таким обра-
зом, если некоторому #>1 соответствует я<2, то Ф (а?) = [X а;]п< а?2, для всех же
прочих значений х >1 имеем л = 2k + ^, гдеАг>1(0 целое число, 0<;6<2. Следовательно,
Таким образом, сумма
и = 1 + [
00
i +
имеет по крайней мере один член, который не менее Ф(#), а потому
Ф(х)<Р(х) (— оо<а?<оо), (6 bis)
откуда вместе с (2) [при Ф (1) = Ф' (1) = 1] получаем неравенства
СО 00
у Ф (0) + 2 ^ (X2fc*)2fc < Ф (*)< 1 + *' [l + 2 (Х2**П (- со < о; < оо),
fc=i fc=i
1 / 1 \2fc
которые аналогичны (А), так как 7Т2-^(~о~) ПРИ всех целых А:>0. В частности,
4t/C V Л I
со со
SC logF(a?) X2fc <; оо, то интеграл \ ------%— dx сходится и, следовательно, F (х) нуле»
1 вого рода.
620

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 621 622 623 624 625 626 627 628


Математика