Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. Собрание сочинений Том2 Конструктивная теория функций
 
djvu / html
 

При всяком ?>>0 можем зафиксировать 6 ]> 0 и &0]>0, так что при всех k > k0 множители G (iy) удовлетворяют неравенствам


<1
j/V (1 +
(IV)
крайние части которых соответствуют множителям бесконечного произведения sin (I + s) ipy. Поэтому при условии (III) имеем
л
lim —log G^(iy)
У
Р
= р.
Отсюда следует, что, какова бы ни была функция G (z) степени д, для которой lim — log I G (iy) \ = g, степень произведения G* (z) Ga (z) равна р -f q.
j/-»oo 2/ J Ч '
Имея в виду установить при любой функции G (а?) степени q неравенство
(следствие 4 «Добавления», стр. 467), где Л — степень произведе-
ния G (х) = G (a?) G о (#)), которое нужно для интерполирования при помощи
№ »
Ф *2-
Gp (а?), (вместо cosjoa;), я наложил дополнительное ограничение на функцию Gp(x), заменив (III) более узким условием
а
т
тт: ~Р
— оо
m
оо)
(V)
где с — произвольно заданная постоянная.
При последнем условии в (253*а) (стр. 572) установлено существование предела
lim г"1 log | G* (re*) \ = р \ sin 9
(VI)
Г->00
для всех sin 9^ 0, которое (как видно из доказательства, приведенного в тексте, стр. 467, следствия 4 в случае G (z) = cos pz) достаточно для получения требуемого результата.
Действительно, при условии (V) функция G (z + %Q) для любого XQ (—оо<#0<оо)
удовлетворяет условию (III), где d^.2c-]------. Учитывая, кроме того, что
Alt Л
Gp (х) е~~* I * I —>0 при + х —> оо [вследствие Gp (z) ? 33], находим, применяя (IV), что при любом е > 0 можно указать такое Ъ > 0, что
±
f— oo (VI bis)
каковы бы ни были
х0 \ ^> Ъ (откуда следует (VI)). Последний класс функций [удовлетворяющих (V)] тщательно изучен в совместной работе Н. И. Ахиезера и Б. Я. Левина «Об интерполировании целых трансцендентных функций конечной степени» [Записки мат. отд. физ.-мат. фак. и Харьк. матем. об-ва, сер. 4, 23, 1952), которая, в частности, содержит подробное (более сложное) доказательство утверждения (VI bis) JB следующей уточненной форме (для определенности полагаем /? =
У
2С+1
2С+1
где z = х -f iy\ постоянные А и В зависят только от с.
610

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620


Математика