Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. Собрание сочинений Том2 Конструктивная теория функций
 
djvu / html
 

п-
= Тп_г (*)#,_!(*) + - Tn_i (x) Мг (х).
Очевидно, что среди функций
п
/ (х) = *-------"""* ------------ ( /г > —
J \ / 1 / /ч \ — г)
наименее уклоняется от нуля на [ — 1 , + 1 ] функция
LMn (х)
..г И
так как она достигает своего абсолютного максимума | L \ с последовательно противоположными знаками в п -f 1 точках отрезка, в которых V~i — х2 ^п_1 (#) обращается в нуль.
Пусть теперь tm (х) — четный многочлен. В этом случае, как легко видеть, многочлен Мп (х) содержит степени х только одной и той же четности. Так как,
1 х2 x%s х
с одной стороны, функции , — , . . . , ' — , равно как и
, , . . . , ,...,
} гт (*) V*m (*) Vtm (х) Ytm (x)
образуют систему Декарта (см. определение в «Э. П.», стр. 50) порядка s на
1Мп
отрезке [0, 1], а с другой стороны /„ (х) = —= — — (п = 2$ или п = 2s + 1) имеет
s -f I точек максимального отклонения на [0, 1], то на этом отрезке /0 (х) является полиномом-осциллятором («Э. П.», стр. 52) соответствующей системы Декарта. Тогда из следствия I, § 12, гл. I монографии «Э. П.» вытекает
Теорема. Если многочлен Рп (х) степени ^п (п^-т) удовлетворяет неравенству
еде t%m(x) — четный положительный на отрезке [ — 1, + 1] многочлен, то

) (0) | = Тп,_т (х) Мт (х) - Тп,__т (х) N^
= 1,2, .. . ,тг),
где пг = и, если п — k = 0 (mod 2), и пг = /г — 1, если п — k ЕЕ 1 (mod"2). Тождество (7) вытекает из тождества *
г/2 + б2 = 2/2 (1 + Ь*) + Ъ* (1 - у2) = | г/
85. О ВЕРХНЕЙ ГРАНИЦЕ МАКСИМУМА МОДУЛЯ ПРОИЗВОДНОЙ МОНОТОННОЙ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОЙ СТЕПЕНИ
85.1. Этот результат М. Г. Крейна распространен в моей работе [84] (заметка V)
на случай, когда | q> (х) | < Я (х) на всей действительной оси, где Я (х) — целая функция нулевого рода.
В 1948 г. (Докл. АН СССР, 63, № 5) Н. И. Ахиезер доказал следующее общее предложение: для того чтобы имело место равенство
9 И = I Ф (*) I2 (— оо < х < оо),
* Настоящий комментарий составлен но моей просьбе В. С. Виденским на основании моих давнишних черновиков.
600

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 620


Математика