Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. Собрание сочинений Том2 Конструктивная теория функций
 
djvu / html
 

видим, что G*Po (х) будет целой четной функцией переменной х степени ръ-^-^-=Зр. Поэтому из неравенства (8) после подстановки (9) вслед-
п
ствие (1) получим
чг
sm
X
п
Заметим еще, что, каково бы ни было д
. (11)
при >^ достаточно большом
х
^п
sin
X
п
2еФ (х) (—
оо).
(12)
Складывая (11) и (12), получаем
X
G*Po(x)
Применяя то же самое рассуждение, что в монографии (3) (стр. 145 (см. также [102.1]), получим из (13) аналогичное неравенство
GPo (х) \ < еФ (х) (— оо <я < оо)
(13) 146)
(14)
для любой непрерывной функции f(x) = o(i) при ж->Ч=оо, где<7Рв(я) — целая функция степени <^ р<>.
2. Доказательство необходимости, т. е. доказательство того,, что при условии
*/
sup S [Яр (х)] =Lp |Нр(*)|<ФОх:)
Ф (х) не может быть слабо весовой, аналогично тому, которое было дано для случая весовых функций (2). Однако для дальнейшего полезно записать соответствующие неравенства в общем виде.
Лемма. Если функция Нр (х) с четным модулем той же степени р (в частности, если Нр(х) имеет вещественные коэффициенты) удовлетворяет (1), то имеет место неравенство*
(16)
В самом деле, если представить | Нр (х) \ в виде
Нр (х) \ =
1 Для этого фиксируем L так, чтобы иметь |#|<<еф(#) при \x\^>L\ для этих значений х неравенство (12) соблюдено при любых Хп. После этого берем Хп настолько большим, чтобы при | х | < L неравенство (12) также осуществлялось.
* В первоначальной редакции доказательство неравенства (II) (и примечание) были опущены. Если степень р ^ />0, где 2р9 степень \Hp(x)\z, то /?>/>0 и при &р(х)=Ар(х) + iBp(x) по крайней мере одна кз вещественных функций А (х),
Вр(х) будет степени р (хотя | Нр(х) |2=^4р(х) -f Bp(x) — степени 2/>0); поэтому неравенство (16) применимо к обеим функциям А (х) и В (х), так как каждая из них (степени 580

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 600 610 620


Математика