Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. Собрание сочинений Том2 Конструктивная теория функций
 
djvu / html
 

Примечание. Заметим, что условию леммы могут удовлетворять и целые функции выше 1-го рода (т. е. бесконечной степени). Пусть, например,
со
п
(х) =
где
„n+l
H (z) dz (*-
Тогда, если
lim max
|2|-H
(z)
R
то р
0, при AZ — pR и j
<^e~ln, для соответствующей бесконечно возрастающей последовательности значений R.
Таким образом, доказанная выше теорема распространяется также на такие целые функции бесконечной степени.
4. Следствие 1. Если Н (х) — антимайоранта, a G* (х) — любая данная •функция конечной степени, то произведение \ G* (х) \ Н (х) также будет антимайор антой.
Действительно, пусть при неравенстве
G(T\ ^<^ 1~Г(т\ Т) ТЬ \ I ^-^- \*^ )
верхняя грань производной Gp>n(x) для некоторой последовательности •функций Gpin(x) конечной (ограниченной) степени р^>0 бесконечна в промежутке (а, 6). Тогда целые функции GpiU(x) и G* (х) конечной (ограниченной) степени будут удовлетворять неравенствам
If r I IT I f -r I IT I I ^*р, п \**// ^-* \ / "*^^ ^^ \ / \ /'
причем в гом же промежутке верхняя грань производной [Gp> n (^) G* (х)] также бесконечна, так как G* (х) имеет лишь конечное число нулей на отрезке [а, 6] и производная G* (х) ограничена на [а, 6].
Следствие 2. Пусть целая функция конечной степени Н (х)^>0 не является функцией конечного роста [т. е. удовлетворяет условию (16)]. В таком случае, каковы бы ни были функция р (х) ^> с ^> 0 и действительная постоянная а, функция
F(x)
х
а
(х) dx
(17)
будет антимайорантой.
Достаточно рассмотреть случай, когда р (х) = 1, а = 0. Замечаем
тогда, что функция F (х)
х
о
dx
возрастает при
+: оо, причем
X
\ Н (х) dx есть функция конечной степени. Таким образом, если мы под-
о
570

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 590 600 610 620


Математика