Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. Собрание сочинений Том2 Конструктивная теория функций
 
djvu / html
 

3. Общее исследование регулярно выпуклых функций может быть проведено методом, изложенным в (2), но для функций / (х) б ЦБ (а, Ь), которые с точностью до множителя + 1 определяются неравенством
(- l)f (х) > 0 (а < х < Ь) , (И
более совершенные результаты получаются непосредственным применением элементарно алгебраических соображений теории циклически монотонных функций [/ (х) 6 Ц (а, &)], которые определяются дополнительным условием [f (х)?Ц (а, 6)], или, с точностью до знака и до замены х на — х, могут быть охарактеризованы неравенствами (11), дополненными неравенствами
(— l)*/2*-1* (ж)>0. (12)
Очевидно, кроме того, что синусоидный тип циклически монотонных функций, определенный совокупностью неравенств (И) и (12), может
быть (подобно всем регулярно монотонным типам) охарактеризован явной
**
формулировкой любого бесконечного множества неравенств (11) или (12) с тем, чтобы каждое из них для прочих /^ (х) было заменено требуемым неравенством лишь для fW (а), когда знаки f^(x) и /fa-HO (х) (а^х^Ь] должны быть одинаковы (пермананс), и для /(п) (6), когда требуется, чтобы / (x) /(»+i) (s)< 0 (альтернанс).
Следует заметить, что неравенства (11), характеризующие ЦВ (а, 6), также могут быть заменены (за исключением некоторого бесконечного множества значений п, для которых (11) сохраняется) соответствующей парой неравенств1
(_ l)ft/(2ft) (а) ^ о, (— l)*/(afc) (Ь) > О, (И bis)
так как после того, как известно, что
(— 1)*+1/(2*+2) (х) > 0 (а < х <
т. е. что кривая ( — l)*/(2fc) (ж) вогнута по отношению к (а, Ь), из неравенств (И bis) следует, что (— 1)Л/(2Й> (ж) ^>0 при всех х(а^х^б).
Все функции/ (ж) 6 ЦВ (0,1), как показали D. Widder и R. P. Boas (6), являются функциями конечной степени /?^тг. Нетрудно показать, что этот результат и притом в уточненной форме является простым следствием моей старой теоремы относительно функций Ц, формулированной и вкратце доказанной в докладе (1) (подробное доказательство в статье (7)).
Если / (х) — циклически монотонная функция f (х) d Ц (О, 1), не превышающая 1 на отрезке [О, 1], то ее производные порядка m = 2k — 1 удовлетворяют неравенствам
= max (»> (х) j < L. = ™ ~ (f Г ? (13)
I -0 2ft I \ ^ / °
1 В случае других регулярно выпуклых функций соответствующие неравенства ?д./(2А;) (а) > 0, e/{./(27{:) (&) >• 0 с данными ?fc = + 1 должны быть дополнены неравенством efc/(2^ (гг^^) > 0, когда ?A.efe+1> 0, и существует точка « = где /(2fe+1) (rr) = 0.
550

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 570 580 590 600 610 620


Математика