Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. Собрание сочинений Том2 Конструктивная теория функций
 
djvu / html
 

где слагаемые в правой части одинакового знака. Поэтому при расходимости (50) | / (х) \ был бы бесконечен.
Отсюда следует, что условие (50) является также необходимым для того, чтобы функция степени р=1 допускала представление (51).
Отметим вытекающее из следствия 11
Добавление к с л е дс т вию 7. Если f (х) 6 Ц\09 -z-} и f (х)
\ ^ /
М

9 ,, то
А
(х)
т-*»
причем знак равенства осуществляется лишь тогда, когда
f (х) — rt М sin х или f (х) = Чз М cos х.
Обобщая несколько представление функций конечной степени в виде (47), нетрудно показать, что представление в виде абсолютно сходящегося ряда
оо
(а<я<й), (52)
где Git (х) ?Ц (а, Ъ), после соответствующей группировки членов приводится к виду
/ (х) = G! (х) - G2 (х) + G3 (х) - G, (х),
где GI(X) и G2 (х) типа sin х, а Сг(х) и G4 (х) типа cos х.
Поэтому из следствия 11 заключаем, что условием, необходимым и достаточным для того, чтобы f (х) степени р = 1 допускала представление (52) ( а = 0, b = ~), служит возможность такого представления \ A J
f (х) = ср! (х) + ср2 (ж), чтобы ряд
со
СО
г
[ I ^^ (о)
сходящимся.
Более удобную для приложений формулировку имеет Следствие 12. Для того чтобы функция f (х) степени р = 1 допускала представление [(52), необходимо, чтобы f (х) была равна ср (я) +
sin я + В cos ж, где lim cp тп-»оо
/ ТС
lim |/(m) (ж) | <Г оо (0 <^ х <; -
m-»oo \
7. Перейдем к рассмотрению бесконечно дифференциру емых функций ) 6 9t (a, b), удовлетворяющих условию, что f (х), как и все ее производные, имеют по крайней мере один корень на отрезке [а, 6]. Если а = О, 6 = 1, то мы будем писать коротко 91 = 91(0, 1). Кроме того, будем рас-
510

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика