Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. Собрание сочинений Том2 Конструктивная теория функций
 
djvu / html
 

ваниями Фейера1 и его учеников о тригонометрических положительных суммах.
Мы докажем, что случай, когда тригонометрический вес представ-
(1—
Л *1 \
ляется в виде t(x) =
Л . / ч
, где th(x) — неотрицательный на
отрезке [ — 1, + 1] многочлен и а и $ равны нулю или единице, является единственным у при котором асимптотическое выражение
cos (яб + Ф)
Fn х =
Vt (х)
есть многочлен 2.
Действительно, Fn(x) удовлетворяет разностному уравнению
Fn+l (х) + Fn-i (х) = 2xFn (х). Следовательно, Fn(x) должно иметь вид
Fn(x) = А (х) (х + УХ* — 1)п + В (х) (х -
(112)
(113)
и нужно, чтобы FI(X) и FI^-I(X) были многочленами в равенстве
Ft(x)+
x
\_
2
l)'.
(114)
Р» (х) +
Таким образом, полагая Р (х) = F\ (х), Q (х) = Fj^-i (х) — xF\ (х), заключаем, что произведение
А(х)
должно быть неотрицательным на [—1, + 1] многочленом3 или таким многочленом, деленным на 1 — х2 или на iHho: в зависимости от того, обращается Q (х) в нуль или нет для ж = -h 1. Имеем, следовательно, при всех п
1
АВ
(115)
так что
1 АВ
1 Fejer. «t)ber trigonometrische Polynome». Journal fur reine und angew. Mathem., 146 (1916). Szego. «tJber die Entwickelung einer willkurlichen Funktion etc.», Math. Ztschr., 12.
2 CM. [42] (том I).
8 Для этого необходимо и достаточно, чтобы FI\± (1) = F\ (1)»
50

 

1 10 20 30 40 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика