Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. Собрание сочинений Том2 Конструктивная теория функций
 
djvu / html
 

Теорема 1. Если целая функция Нр(х) полустепени р удовлетворяет при х ^- а неравенству
(3)
то при всех х а место неравенства
(АО
для последовательных производных Нр (х) имеют
(4)
Знак равенства осуществляется только в точке х = а и притом лишь для
Нр (х) = M cos p
Действительно, принимая во внимание, что при любом постоянном а функция Нр (х + а) имеет ту же самую конечную полустепень р, что и Нр(х), мы можем положить а — 0. Тогда каждой из функций Нр(х), удовлетворяющих (3), соответствует четная функция Gp (t) степени /?, определенная равенством (1), которая удовлетворяет условию
(3 bis)
(0) | = | «*| =
Cp(0| Следовательно, по известному экстремальному свойству целых функций степени /?,
(л) //-\\ | ^* "л/г 2л /гг\
р (0) I ^ Мр , (5)
причем знак равенства осуществляется только для Gp (t) =Mcospt, т.е.
для Нр (х) = М cos р УХ . Таким образом, наше утверждение (4) доказано для х = а. Остается лишь заметить, что
Л (х0, а) = sup [ Н(р} (XQ) |< sup | Н(® (а) \ = Ми (а, а) = М ~ Р*

при условии (3) для всякого xQ >> а, так как Мft (ж0, а) = If^ (ж0 — а) зависит только от XQ — а, причем увеличение a Л/fc (и), если и > 0.
Теорема 2. /7/?гг условии (3) [сох/?ат/^л принятые выше обозначения (а = 0)]
М/7 М/?2
х
k
(2k — 1)тг
— 1о \
-]).
м 1 (w)i< ттт1= (ж* < и
>0),
ттт III.
/ \ (и) =
(6)
Для получения I и II замечаем, что при а = 0, вследствие (1),
2tHp'(t*)
480

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика