Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. Собрание сочинений Том2 Конструктивная теория функций
 
djvu / html
 

it (х) |,; где s (z) + it (z) наименьшей возможной степени а и не имеет корней в верхней полуплоскости)
\ GP (*) К I (* СО + it (2)) е-'** | (6 bis)
и аналогичное неравенство в нижней полуплоскости] поэтому 1 р*<С /?+ Следствие 1. Для того чтобы Н (х)^-О бьгла майорантой конечного роста класса 9Л0(а), необходимо и достаточно, чтобы вместе с Н (х) майорантой квазиконечного (или конечного) роста была и \ Н (xelQ) \ при некотором * О (О <С 6 <С тс).
Следствие 2. 5се целые функции конечной степени $(х)-}-И(х), не имеющие корней в верхней полуплоскости, являются функциями квазиконечного роста (| s (х) + и (х) 6 SDT).
Действительно, по известной теореме Линделефа, в этом случае s(x)-{-it(x) должна удовлетворять условию (7).
С другой стороны, благодаря недавно доказанной теореме Н. И. Ахи-сзсра (3), из теоремы 2 вытекает также
Следствие 3. Для того чтобы целая функция конечной степени Р Gp(x)^0 была майорантой квазиконечного роста (Ср (я) 6 9Й*) , необходимо и достаточно, чтобы она могла быть представлена в виде
GP (я) = s (х) + it (х) 2 = s2 (х) + t2 (х),

где s(x)~{~it(x) — целая функция степени -~- , не имеющая корней
в верхней полуплоскости.
Кроме того, принимая во внимание эквивалентность (3) условия (7) условию
R
(когда // (х) конечной степени), получаем
Следствие 4. Любая2 функция конечной степени Н(х)*^0, удовлетворяющая (8), является майорантой квазиконечного роста. (См. [111].)
1 Для р — О [Gp (x) — многочлены] неравенство (6 bis) доказано впервые в моей монографии"(2) (стр. 74). (См. также [102. 1], стр. 619). Кроме того, более сильное неравенство, установленное Н. И. Ахиезером (4) при некотором дополнительном ограничении, обеспечивает /?*=/? для р >• а и р* <1 а для р <С а. Не исключена возможность, что аналогичное уточнение неравенства (6 bis) возможно и в общем случае, так что квазикоиечный характер роста майорант Н (х) конечной степениJT мог бы обнаружиться, как и в случае Ахиезера, лишь для /><ст.
::' Так как в таком случае вместе с (7) соблюдается и условие
оо,
со ОО v If \ Л • 4. f*f\C \~\ - _ Л/ С 1 Т^ J ~Ё \j\j О v/ 1Л т« О J. JLX »|
^J Л-1 1 «1 + Р! <С оо. (Автор. )

Ус 4 + Р!
a следовательно,
2 Если Я (а:) — модуль целой функции конечной степени, то условие (8) является также и необходимым.
470

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика