Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. Собрание сочинений Том2 Конструктивная теория функций
 
djvu / html
 

где Tq (х) — тригонометрический полином порядка q и а, 6, рые постоянные.
Интегрируя, находим
— некото-
С08(Л
cos я — А: -х —

Требуя, чтобы Sn+q(—} = e&, мы получим 2п линейных уравнений
\ п J
с 2 (q + 1) неизвестными С, а, Ъь cos cpft, ift sin срл, которые не могут быть совместны при всевозможных значениях е# = + 1, если * д<^п — 1, что и требовалось доказать.
Значения g^ = sup j Gp (x) |, полученные раньше при условии, что
1, были связаны с предположением (теорема 2), что Gp (x) — вещественная функция. Предположим* теперь, что
G* (x) = sp (x) + itp (x) — любая комплексная функция степени р, и обозначим
N = ?* = sup I G* (х)
С7 М X | *П \ /
полагая, что
Y-P
. -г,
1. В таком случае имеем также
J
Грта
откуда sup
—оо<д:<оо
sup | ?р (ж) [ ^ gy.. Следова-
—оо<^зс<[оо
тельно, во всяком случае имеем неравенство
*
на уточнении которого мы здесь останавливаться не будем (заметим лишь, что ?2 = g* — |/2). Отметим еще вытекающее отсюда принципиально'
важное следствие для вещественных неотрицательных функций Gp (x) ^> О, удовлетворяющих условию
где Н (х) — целая четная функция нулевого рода.
Как показано в моей заметке (4), при соблюдении условия (25) функция Gp (х) ;> 0 степени р допускает представление 2
1 В случае q — п — 1 соответствующие уравнения всегда совместны и приводят к известной формуле Джексона, которая соответствует (28) при замене х на ——- и п->оо.
* Н. И. Ахиезер обратил мое внимание на то, что в силу теоремы 4 имеем Ljy^g^ (а не LN = g^, как стояло в первоначальном тексте). В связи с этим несколько изменено изложение конца §6, ив частности, изменены неравенства (29) и (31) (последнее из них содержало явную опечатку). (Автор.)
2 В упомянутой заметке (4) на Н (х) было наложено дополнительное ограничение,, го Н (х) — четная функция с неотрицательными коэффициентами. Однако последнее
460

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика