Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. Собрание сочинений Том2 Конструктивная теория функций
 
djvu / html
 

Пусть / (х) будет какая-нибудь функция, заданная своими значениями / (uk) в равноотстоящих точках а& =
Pi Полагая — — N > 1, построим функцию
(х - а^
степени ^ /?х + # = рг ( 1 + -j^ ] по значениям / (ak) = GPl+a (аД которая выражается абсолютно и равномерно сходящимся рядом, если значения
ограничены. Ценные свойства этой интерполяционной фор-
мулы связаны с простым тождеством ajc
f
( \
kn
Pi
\
qN ', N ^> 1 ) J
со
оо
(х — u
\
«in2 ( пт
^

\
1
* /
Для доказательства заметимтсначала, что, каково бы ни было ./V0>1, ряд (7) при любом фиксированном х равномерно сходился в промежутке I^N^NQ и, следовательно, ®(N, qx) непрерывна относительно N.
С другой стороны, функция ср (/V, qx) не зависит от х, так как она является целой периодической функцией степени 2 переменной z — qv
с периодом — относительно этой переменной z и, следовательно (1), в случае N > 1 обращается в постоянную ср (N) . Таким образом, равенство
ср (N, qx) = ср (N)
(8 bis)
имеет место при любом N ^> 1, а также при ./V = 1, полагая Ф (1) = lim ®(N)r
w->i но, подставляя в функцию ср (TV, qx) N = 1, qx = 0, находим ср (1, 0) =
= ср(1) = 1.
Остается вычислить значение постоянной ср (Л^) при любом
^4 Пусть N = -- рациональная дробь, где A^B^i. Тогда
sin2
В
С=—00 ( Z----------— 7Г
Л
• sin г/
sin2 г/-------ртг
*
kB
•тс
^ 00
.з sin2 г/ -- -j
^
A
°° Sin2 г/
ft =-
7Г kB \2
— ——.n\
тт -- j-ти
A
В —1 *В
-------5------ ТС----------7~7Г
л л
4Л. 4Л.
450

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика