Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. Собрание сочинений Том2 Конструктивная теория функций
 
djvu / html
 

наилучшее приближение периодической функции / (х) с периодом посредством тригонометрических сумм порядка п [когда X = 1, пишем, соответственно, Еп / (х) и Е*п / (х)] . Заметим сначала что1
sup Apf(x)=9 (1)
где с (а) — не зависящая от р постоянная *. Действительно, если / (х) 6 (ос),
/ (Рх) г / \
то v y 6 (а), но />а
л f(px)
/l-n
.
р" р" '
поэтому
sup Apf(x)=— sup АгЦ).
f(x)?(a) /> /(*)?, а)
Теорема. Пусть для каждого целого п
sup En / (х) = -- , sup / (х) = -- ; (2)
таком случае
сп
П->00
с (а) = sup ^ / (х) .
В самом деле, Еп [/ (х), X] = Еп [/(Х#)], поэтому, учитывая, что ' (Х^) 6 (а), видим, вследствие (2), что
sup Еп [/ (ж); X] - (-гтТсп (а). (4)
Л-г\Г.(п\ Vfc "Г -1/
Л^ (^ l0'; ч '
Но, согласно неравенству (11) заметки (3), при п + 1 = Х/?-> оо
1 Функции / (я), для которой Аг / (ж) == sup А^ f (х) — с (а), вообще" может не существовать, поскольку последовательности функций класса (а) на всей оси могут не иметь подпоследовательности, которая равномерно стремится к своей предельной функции [в отличие от функций класса (а)*].
Утверждение, что с(а)<<оо, следует из того, что lim А / (х) = 0 для всякой
р->оо Р
равномерно непрерывной функции (см. (2> 3)).
* Применяя (1), в случае a = 1 можем получить неравенство
(которое не может быть улучшено). См. [3.6] (том I), стр. 528 — 529. (Автор )
400

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика