Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. Собрание сочинений Том2 Конструктивная теория функций
 
djvu / html
 

введены в моей монографии «L. S.» при доказательстве следующей теоремы1:
Если функция Fp (х) степени р удовлетворяет при всех вещественных значениях х неравенству
(1)
F (х) |< YS* (х) + t* (х) ,
то при всех х имеет место также неравенство
(2)
Эта теорема, которая для случая 5 (х) + it (х) = L сводится к известной теореме о максимуме модуля последовательных производных для ограниченных функций конечной степени, а при р -- 0 содержит, как частный случай, соответствующую алгебраическую теорему, допускает некоторые другие приложения.
Следствием из указанной теоремы является следующая
Лемма. Из всякой бесконечной последовательности функций Fp (х) степени, р, удовлетворяющих (1), можно извлечь бесконечную подпоследовательность, которая сходится (равномерно в каждом конечном отрезке) к некоторой функции F (х). Последняя, по необходимости, должна также быть целой функцией степени р, удовлетворяющей неравенствам (1) и (2) (всякая последовательность Fp(x), сходящаяся к F (х) на некотором конечном отрезке, сходится к F (х) на всей плоскости).
Положим
s (х) + it (х) — (х + bi)m
, т целое число
оо
akx
В таком случае, полагая, что целая функция F (х) — V —р степени
О
р удовлетворяет неравенству
m
F(x)
заключаем из (2), что
откуда
(3)
(х) < | [(х
+ k (k — 1) ... (А — т + 1) pk~m,
(4)
если
00
(X

о
1 Доказательство в «L. S.» проведено при предположении, что вещественные-части корней s (х) + it (х) ограничены; кроме того, рассуждение «Э. П.» (стр. 185), которое при р = 0 распространяло теорему на случай любой четной функции s2 (х) +t2(x), применимо и при />>0. Н. И. Ахиезер сообщил мне, что ему удалось доказать эту теорему без всяких ограничений. [См. статью Н. И. Ахиезера «О некоторых свойствах целых трансцендентных функций экспоненциального типа». Изв.. АН СССР, сер. матем. (1946), стр. 411—428].
380

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика