Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. Собрание сочинений Том2 Конструктивная теория функций
 
djvu / html
 

('например, если заданы в определенной точке значения функции и п се последовательных производных), являются в данном случае вместо упомянутых экспоненциальных полиномов соответствующие обыкновенные алгебраические многочлены с положительными коэффициентами. •
§ 8. Упомянем еще о следующем обобщении абсолютной монотонности функций, которое приводит к интересному классу аналитических функций, а именно классу регулярно монотонных функций. Если вместо того, чтобы требовать неотрицательности всех производных в данном интервале, мы потребуем лишь, чтобы ни одна из производных не меняла знак (заметим, что здесь также нет надобности предполагать существование производных и достаточно подчинить тому же условию последовательные конечные разности), то такая функция также оказывается аналитической в рассматриваемом промежутке и регулярной по меньшей мере внутри круга, имеющего данный отрезок своим диаметром. Такие функции мы называем регулярно монотонными, и здесь я хотел бы остановиться лишь на одном типе регулярно монотонных функций, в котором чередование знаков последовательных производных в некотором промежутке совпадает с чередованием знаков последовательных производных sin х на отрезке 0, у > т- °- положительные и отрицательные
производные чередуются группами по две. Этот специальный класс регулярно монотонных функций, который назовем циклически монотонными, замечателен тем, что все эти функции оказываются целыми трансцендентными функциями экспоненциального типа конечной степени, о которых мы говорили раньше. В частности, циклическая монотонность в

промежутке длины ~ влечет за собой следствие, что функция — не выше первой степени. И, с другой стороны, всякая функция первой степени пред ставима в виде разности между двумя циклически монотонными
Т™
функциями в любом промежутке длины <С v » но не м°жет быть пред-
&
ставлена G таком виде в промежутке, большем -^ .
tj
Область мыслимых математических функций неизмеримо обширнее конкретных функций, встречающихся в действительности, и одной из труднейших и важнейших задач теории функций является .выбор путеводной нити, обеспечивающей прочную связь между абстрактным миром математики и естествознанием. Бее изложенные выше исследования проникнуты этим стремлением, и то обстоятельство, что рассмотренные
*
выше классы функций являются естественным обобщением важнейших элементарных функций, служит, как мне кажется, залогом плодотворности их изучения.
В заключение считаю не лишним указать, что все идеи и основные результаты, о которых шла' речь, являются почти целиком достижениям^ рурской, и советской математической мысли*.
*
См. также мою статью (246*) (Автор.)

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика