Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. Собрание сочинений Том2 Конструктивная теория функций
 
djvu / html
 

исходным пунктом для создания Чебышевым теории разложения функции по ортогональным полиномам.
Третья проблема — проблема моментов, поставленная Чебышевым для возможно общего доказательства предельной теоремы теории вероятностей, имела целью установить, в каких пределах должна быть заключена вероятность нахождения случайной величины х в конечном промежутке (а, 6), если известны математические ожидания ее последовательных степеней.
§ 2. В мою задачу не входит подробное рассмотрение отдельных результатов, полученных Чебышевым и после него другими авторами. Я хотел бы лишь вкратце обрисовать обширную область конструктивной теории функций, примыкающую к указанным выше трем проблемам.
В настоящее время известны вычислительные приемы, позволяющие разрешить с любой степенью точности задачу нахождения многочлена степени п, наименее уклоняющегося от произвольно заданной функции, непрерывной в данном конечном промежутке. Однако с увеличением степени п практически вычисления чрезвычайно усложняются, и тогда важное значение получают теоретические асимптотические методы, соответствующие бесконечному возрастанию степени п и нахождению многочленов R (ос) степени и, дающих приближения того же порядка, что и наилучшие приближения Enf(x).
Как известно, пользуясь интегралом, связанным с уравнением теплопроводности, Вейерштрасс показал в конце прошлого столетия, что функции / (х) — непрерывные в данном конечном промежутке — характеризуются тем, что они могут быть равномерно приближены при помощи многочленов возрастающих степеней, т. е. тем, что Enf(x) ->0при п— »оо. Таким образом, многочлены являются естественным конструктивным элементом для изучения непрерывных функций на конечном интервале, и многочлены, наименее уклоняющиеся от данной функции, потенциально содержат все ее свойства. В связи с этим особо важное значение имеет исследование качественных или экстремальных свойств многочленов, подчиненных определенным условиям. В частности, фундаментальным является классический результат Чебышева, согласно которому многочлен степени п вида
хп
старший коэффициент которого равен 1, в промежутке ( — 1, +1) не может оставаться по абсолютному значению менее, чем —^ ; при этом
tL
единственным многочленом этого вида, для которого уклонение от нуля не превышает —^—^ , является многочлен Чебышева
—^—^ cos (п arc cos x) .
?
Другим весьма важным для конструктивной теории функций результатом оказалась теорема Маркова, дающая ответ на вопрос, поставленный
350

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика