Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. Собрание сочинений Том2 Конструктивная теория функций
 
djvu / html
 

Уравнением пучка касательных в точке с будет поэтому
2
(а - а0) + 2bQ (2а0 - 1) (а - а0)
(а20 - а0 - б2) (р - 60)2 = 0. (35)
Сравнивая это уравнение с уравнением (8), видим, что пучок касательных к антиузловой линии совпадает с пучком касательных к узловой .линии с тем же узлом, но внутренний угол между касательными к на-
ружному контуру области, ограниченной линией (34), составляет в дан-
3 ном случае -«-it.
Рассмотрим для примера частный случай, когда особая точка с — а0 + ^о находится на вещественной оси (Ь0 = 0) . Положим для определенности1 с = а0 ^> 1 /если а0 <^ 0, то достаточно произвести зеркальное отображение
1 \
•около прямой а = —) . Уравнение (34) можем представить в виде Вводя полярные координаты а = р cos 6, р = р sin 6, имеем
1—а„
[р2 — 2р ccs 0 + 1] 2 = (а0
и, разрешая это уравнение относительно cos б, находим
2а„ _
cos 6 =
J_


2 - (а0 - l)^ (f
(36)
Таким образом, антипетля Du(t получается, если в формуле (36) брать только наибольшее из значений р, приводящих к тому же самому значению ср (р) = cos 6. Из (36) видно, что ср (а0) = 1, т. е. 6 = 0 при р = а0; другой же корень р0 уравнения ср (р) = 1 меньше а0 (и соответствующая
ему точка не может лежать на Da^), так как
имеет два корня: а0<^а0 и а0, между которыми ср' (р) ^> 0, причем ср'(р)
г •
вне промежутка а0а0; таким образом, ро<Сао<:Сао> и значения р <^ р0, для которых ср (р) ^> 1, невозможны на антиузловой линии; при росте р от р0 угол 0 растет от нуля до максимума, соответствующего р = а0, убывая снова до нуля при р = а0. Вся эта часть антиузловой линии вместе с ее ^симметричным относительно оси абсцисс отображением остается внутри антипетли Duo. При дальнейшем росте р ^ а0 мы уже находимся на антипетле Duo: полярный угол 6 на ней все время растет от 0 до тг вместе
1 Когда с—>1, то уравнение (34) стремится к х =1, т. е. пределом антипетли лвляется окружность радиуса 1 с центром в 0.
330

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика