Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. Собрание сочинений Том2 Конструктивная теория функций
 
djvu / html
 

касательных в узле х

да2 Л^
(а — а)2 + 2
v '
а — «) (Ь — Р) +
' v ry '

= О
следует, что эти прямые образуют с осями координат вдвое меньшие
углы, чем прямые
/д*Р \ •(а — а) +
:=х v ' \dadb Jz=x
да2
fd*P,
_ р) == О,
являющиеся касательной и нормалью к окружности —- = О, т. е. (24).
Кроме того, для нахождения автономных областей с двумя осями симметрии, полезна следующая
Лемма 4. Если произвести зеркальное отображение правой верхней
( 1 1 \
четверти петли Fx (3^>0, a }>-«-, 6^>0, а^>— относительно оси
\
абсцисс и прямой а = -тг , то Fx будет находиться внутри полученного
&
таким образом симметричного контура. В самом деле,
дри
Рх (а, -Ь)=РХ (а, Ь) + 2b arg . С другой стороны,
х
Рх (а, Ь)
(27)
Р* (1 - а, Ъ) = Рх (а, Ъ) - (2а - 1) log
X — 1
X
<Рх(а,Ь). (27 bis)
Следствие 4. 1) Если узел х гиперболы Г (а2 — а
находится внутри ветви
Р2^>0), т/го петля Fx находится внутри гиести-
1 угольника, симметричного относительно прямой а — -~- с горизонтальны-
ми сторонами, проходящими через А и Аг, и боковыми сторонами хА и
^ д,
хАг (координаты точек А и А± равны -. - ^ и 4^ -. - ^ , где k =
J. ~ /с JL •""• К
2) ес,/ш г/зел х находится между ветвями гиперболы Г (а2 — а — (З2 ^ 0), но вне окружности а2 — а + Р2 = 0, имеющей диаметром отрезок 01, то петля Fx находится внутри симметричного относительно оси абсцисс шестиугольника, образованного хордами второй узловой окружности, соединяющими х с концами ее горизонтального диаметра, и вертикальными касательными к ней] 3) если же узел находится внутри окружности а2 — а -{* р2 = 0, то петля Fx находится внутри симметричного относительно оси абсцисс четырехугольника, имеющего сторонами Ох и xl.
В самом деле, в первом случае, т. е. при а2 — а + (32;>0, замечаем, что петля Fx находится внутри прямого угла АхАг и между горизонтальными прямыми, проходящими через А и А19 так как нижняя и верхняя точки петли Fx лежат на первой узловой окружности Сх, и внутри нее петля Fx выпукла.* Во втором случае, т. е. при а2 — а — (З2 < 0, а2 — а +
320

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика