Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. Собрание сочинений Том2 Конструктивная теория функций
 
djvu / html
 

точную для всех многочленов степени 2п, где
i
т
каково бы ни было 1<^т [ \ г$ = 01 .
Действительно, можно произвольно передвигать т — 2п абсцисс в формуле (И), пока т'^>2п, оставляя ее точной для всех многочленов степени 2п. Совпадения соседних абсцисс Lne могут нарушить свойства
коэффициентов этой формулы, благодаря чему новые
i-l
коэффициенты не могут по абсолютному значению превысить 2.
6. Можно без ограничения общности предположить, что функция t (с) имеет лишь конечное число максимумов и минимумов, так как ее всегда можно заменить функцией, обладающей этим свойством и имеющей те же моменты до порядка 2дг+1. В таком случае справедлива
Теорема III [72.1]. Если все минимумы (непрерывной) функции t(x) {t (i: °°)= 0] равны нулю и если ее абсолютный максимум равен М, то возможно построить формулу1
оо 2т—1
Г х^
eJ *в^*т \
— оо г=вО
справедливую для всех многочленов степени 2п, какова бы ни была данная постоянная С^М.
Действительно, пусть — °° <С ai Рассмотрим такие функции ^ (х), t2 (х), . . . , th (х), что t± (х) = t (х) при х ^ Р! , t± (х) = О при х ^ $i, ?2 (х) — * (х) ПРИ Pi ^С х ^ ^2 > t2(x) = 0
h
при x^jS-L и при #^[32 и т. д.; значит, t (х) = 2 ti(x}-
1=1 Полагая ^(х) = рг(х) — ql(x], где pl(x} = tl(x] при х-^а^ и -рг (х) =
— ?, (а,) при ж >- а,, так что а, (х) = 0 при х <Г а, и <7, (х) = ^ (ат) — t, (х)
I \ I * А **"^ L * ^ \ / -^- ^"^ С ** ^ \ * WW 4*
при x^aij мы можем, согласно теореме II, образовать формулы
оо 2п—1
J Р (ж) dp, (x) = C ^(-1)1Р (хг) +[t (a,) P (xj,
(ОМ)
оо
(х) dql (х) = i (a,) Р «) + С ^ (- 1)* ^ К),
•*""
—00 1=1
где 1-130Ж1- - -^2nai^o« -<^2n» точные для всех многочленов степени 2п + 1- Однако если мы пожелаем, чтобы вторая
1 Эта теорема является частным случаем теоремы VI, доказанной ниже.
250

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620


Математика